Площадь фигуры, заданной в полярных координатах

Найдем площадь сектора , ограниченного непрерывной кривой и двумя полупрямыми и . Рассмотрим разбиение отрезка - и проведем соответствующие этим углам радиус-векторы. Пусть и соответственно наибольшее и наименьшее значение функции в промежутке . Площадь множества круговых секторов, ограниченных радиус-векторами и целиком содержащихся в , равна , площадь круговых секторов с теми же самыми радиус-векторами, содержащих , равна . Эти числа являются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла и имеют пределом этот интеграл. Получаем

.

Пример 5. Найти площадь сектора, ограниченного окружностью и лучами и .

Решение: .

Объем тела вращения.

Выведем формулу для вычисления объема тела , полученного при вращении кривой вокруг оси . Для этого разобьем на части плоскостями, перпендикулярными оси и проходящими через точки . Часть содержит в себе цилиндр, в основании которого лежит круг радиуса , а высота равна . Аналогично, содержится в цилиндре с круговым основанием радиуса и той же высотой. Объемы полученных частей будут равны соответственно, и , то есть совпадают с нижней и верхней суммами Дарбу для интеграла . Окончательно получаем

.

Пример 6. Найти объем шара радиуса .

Решение: .