	Главная \| Случайная страница \| Контакты \| Мы поможем в написании вашей работы!

Длина кривой, заданной параметрически

1 2 3 4 Следующая ⇒

Определение. Длиной кривой называется точная верхняя граница для множества периметров вписанных в кривую ломаных: . Если это число конечно, то кривая называется спрямляемой.

Рассмотрим параметрически заданную гладкую кривую

Утверждение. Параметрически заданная на конечном промежутке гладкая кривая спрямляема.

Доказательство. Поскольку функции и непрерывны на отрезке, то они ограничены на нем, то есть

Рассмотрим ломаную с вершинами в точках . Периметр ломаной равен

.

Мы воспользовались формулой Лагранжа для конечных приращений и ограниченностью производных на отрезке .

Видим, что множество периметров вписанных ломаных ограничено, следовательно, кривая спрямляема. Аналогично оценке сверху, мы можем получить и оценку снизу для длины нашей кривой. Запишем:

.

12 3 4 Следующая ⇒

Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 343 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!

studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с)...