Площадь криволинейной трапеции

Пусть - неотрицательная интегрируемая функция, заданная на отрезке . Рассмотрим криволинейную трапецию , определенную неравенствами: . Верхние суммы Дарбу для являются площадями многоугольников, содержащих , а, соответственно, нижние – площадями многоугольников, целиком содержащихся в . Таким образом, получаем

. Из интегрируемости на отрезке следует, что , а, значит, фигура квадрируема и

.

Если функция отрицательна, то интеграл равен площади, взятой со знаком минус, если же меняет знак, то равен алгебраической сумме площадей.

Если криволинейная трапеция снизу и сверху ограничена кривыми

и ,

то площадь такой трапеции будет равна

.

Пример 4. Найти площадь области, ограниченной кривыми и .

Решение: .