Формула дли вычисления длины дуги гладкой кривой, заданной параметрически

Введем функцию , равную длине переменной дуги от точки до .

Рассмотрим промежуток . Приращение равно длине дуги, заданной на отрезке . Запишем оценку для приращения длины на этом промежутке:

.

Здесь , соответственно, наибольшие и наименьшие значения модулей производных и на отрезке . Из непрерывности производных вытекает, что

.

То есть

.

Таким образом, длина переменной дуги – дифференцируемая функция, и по формуле Ньютона-Лейбница ее приращение на отрезке равно

. (1)

Пример 1. Найти длину одной арки циклоиды

.

Решение:

.