![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Рассмотрим числовую последовательность
. (1)
Покажем, что эта последовательность сходящаяся.
Теорема. Последовательность (1) имеет конечный предел.
Доказательство. ►Убедимся сначала, что последовательность (1) возрастающая. Воспользуемся формулой бинома Ньютона:
=
. (2)
Видим, что с ростом увеличивается как число положительных слагаемых, так и величина каждого слагаемого (так как
), то есть последовательность (1) монотонно возрастает.
Покажем теперь, что последовательность (1) является ограниченной. Из (2) следует
.
Итак, наша последовательность монотонна и ограничена, следовательно, по теореме Вейерштрасса она имеет предел.◄
Пределом последовательности (1) является число, обозначаемое буквой , оно играет в анализе роль столь же важную как, например, единица в арифметике или
в геометрии.
Число иррациональное, представляется бесконечной десятичной дробью, а начало его десятичного разложения имеет вид:
Задача. Доказать, что .
Задача. Используя монотонность последовательностей и
, докажите неравенства
.
Задача. Пользуясь неравенствами предыдущей задачи, докажите, что
.
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 236 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!