Предел монотонной последовательности. Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной последовательности)

Теорема Вейерштрасса (о пределе монотонной последовательности). Монотонная ограниченная последовательность сходится.

Доказательство. ►Рассмотрим, для определенности, неубывающую последовательность . Ограниченное сверху множество значений последовательности имеет точную верхнюю грань . Покажем, что число будет пределом нашей последовательности.

Фиксируем произвольное . Из определения точной верхней грани следует, что существует элемент последовательности такой, что . Так как последовательность неубывающая, а число является верхней гранью множества всех значений последовательности, то для всех номеров будет справедливо , то есть . А это и означает, что .◄

Задача. Доказать, что если - невозрастающая ограниченная последовательность, то .

Задача. Доказать, что если - неубывающая не ограниченная сверху последовательность, то .

Задача. Доказать, что если - невозрастающая не ограниченная снизу последовательность, то .

Задача. Доказать, что при будет .

Доказательство. ►Пусть . Последовательность , очевидно, возрастает. Покажем, что она не ограничена сверху. Фиксируем произвольное и воспользуемся формулой бинома Ньютона:

при .◄