Переход к пределу в неравенствах. Теорема (о предельном переходе в неравенстве)

Теорема (о предельном переходе в неравенстве). Пусть и , и пусть , по крайней мере, начиная с некоторого номера . Тогда .

Доказательство. ►Рассмотрим последовательность . Эта последовательность сходящаяся , кроме того, при . Покажем, что .

Возьмем и выберем номер такой, что при

, то есть .

Но в таком случае, при будет (мы используем только верхнее неравенство) . Так как знак совпадает со знаком , это означает, что .◄

Теорема (о предельном переходе в двух неравенствах). Пусть и , и пусть , по крайней мере, начиная с некоторого номера .

Тогда последовательность сходится и .

Доказательство. ►Фиксируем произвольное . По условию теоремы, после некоторого номера , элементы последовательности будут находиться в , а, после номера , в той же окрестности будут находиться все члены последовательности . Тогда для номеров элемент последовательности , находясь между и , тоже попадет в .◄

Пример. , если .

Доказательство.► Запишем как . Воспользуемся формулой бинома Ньютона

.

То есть

а так как , то и .◄

Следствие. .

Доказательство. ►Фиксируем произвольное . С учетом предыдущего примера имеем . Тогда найдется такой номер , что для всех будет . Кроме того, очевидно, . То есть для всех получим .◄

Задача. Доказать, что .

Доказательство. ►Пусть . Очевидно, что , а, начиная с некоторого номера . Далее воспользуемся результатом предыдущего примера и теоремой о переходе к пределу в двух неравенствах.

Если , то . Поэтому в последнем примере требуется только условие .◄