![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Арифметические действия над сходящимися последовательностями
Теорема. Пусть и
. Тогда последовательность
также будет сходящейся, причем
.
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а
, где
и
- бесконечно малые последовательности. Поэтому
,
причем - бесконечно малая последовательность (как сумма бесконечно малых).◄
Теорема. Пусть и
. Тогда последовательность
также будет сходящейся, причем
.
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а
, где
и
- бесконечно малые последовательности. Поэтому
.
Последовательности бесконечно малые как произведение бесконечно малой на ограниченную и произведение бесконечно малых последовательностей. Тогда
бесконечно малая как сумма бесконечно малых..◄
Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующее свойство сходящихся последовательностей.
Лемма. Пусть , причем
. Тогда последовательность
ограничена.
Доказательство. ►Возьмем и найдем номер
, после которого
. Для всех номеров
будет справедлива оценка
,
,
а значит, для этих номеров . Тогда для всех номеров
будет справедливо
,
что означает ограниченность последовательности .◄
Теорема. Пусть и
. Тогда последовательность
также будет сходящейся, причем
.
Доказательство. ►Из условия теоремы вытекает, что , а
, где
и
- бесконечно малые последовательности. Поэтому
.
Последовательность , очевидно, бесконечно малая, а, следовательно,
. ◄
Пример. .
Дата публикования: 2014-12-08; Прочитано: 1303 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!