Математическое ожидание целочисленной величины

· Если — положительная целочисленная случайная величина (частный случай дискретной), имеющая распределение вероятностей

то её математическое ожидание может быть выражено через производящую функцию последовательности

как значение первой производной в единице: . Если математическое ожидание бесконечно, то и мы будем писать

Теперь возьмём производящую функцию последовательности «хвостов» распределения

Эта производящая функция связана с определённой ранее функцией свойством: при . Из этого по теореме о среднем следует, что математическое ожидание равно просто значению этой функции в единице: