Определение плотности распределения суммарной погрешности

Граничные значения общей погрешности , как известно, можно найти, умножая на коэффициент , зависящий от закона распределения этой погрешности: .

Для этого надо уметь оценивать плотность распределения погрешности .

Из теории вероятностей известно, что если общая погрешность есть сумма независимых случайных погрешностей и с плотностями распределения и , то плотность распределения суммарной погрешности (y) определяется композицией законов распределения слагаемых:

(20)

Выражение (20) называют сверткой функций (y) и (y).

Пользуясь выражением (20), можно установить, что при нормальном распределении и с соответствующими значениями СКО и их сумма также имеет нормальное распределение с СКО, равном . Это важное положение распространяется на любое число слагаемых погрешностей с нормальным законом распределения.

Более того, из центральной предельной теоремы теории вероятностей следует, что при достаточно большом количестве равнозначимых (соизмеримых) слагаемых суммарная погрешность будет иметь нормальное распределение при любых законах распределения слагаемых. Этим и объясняется широкое распространение нормального закона.

Рассмотрим еще один частный случай, при котором и теперь имеют равномерное распределение. В этом случае плотность распределения будет иметь вид, показанный на рис. 1.

Рис. 1

Если при этом граничные значения , то плотность распределения общей погрешности, очевидно, примет вид, указанный на рис. 2.

Рис. 2

Важно отметить, что при 4-х и более равномерно распределенных и равнозначимых слагаемых результирующее распределение уже можно считать нормальным.