Закон смещения Вина

Как мы видели выше, плотность энергии излучения чёрного тела как функция частоты при фиксированной температуре не является монотонной: она возрастает в классическом диапазоне спектра, пока энергия квантов значительно меньше температуры, и убывает при ħ ω > T.

Частота максимума ω_max зависит от температуры. С целью приближённо оценить зависимость ω_max(T) рассмотрим сначала виновскую область спектра. Виновское приближение для плотности энергии обозначим индексом «W». Согласно (4.7), имеем:

.

Введём безразмерную переменную

и выразим через неё плотность энергии:

где

Максимум функции f W(x) приходится на значение аргумента

.

Так как e ³ ≈ 20, то максимум действительно находится в виновской области спектра, причём ошибка приближения (7.5) не должна превосходить пяти процентов.

Уточним полученную величину частоты максимума. Для этого формулу Планка (4.7)выразим в безразмерной форме

.

Условие df/dx = 0 приводит к трансцендентному уравнению

3(1 – e^–x) = x.

Согласно решению задачи о максимуме функции Вина, будем искать корень последнего уравнения в виде x =3 –δ, предполагая малое значение δ. Запишем уравнение для δ:

δ = e^–3+δ

и разложим экспоненту e ^δ по малому параметру

e ^δ ≈ 1 + δ + δ²/2.

Уравнение из трансцендентного относительно x становится квадратным по δ:

.

Нужный нам корень равен

откуда

x = 3 – δ = 2.822.

Подставляя полученное значение x в (7.2) и выражая температуру в градусах Кельвина, приходим к формулировке закона смещения Вина в шкале частот:

Здесь длина волны выражена в сантиметрах.

2.8 Частота максимума в шкале длин волн.

Выше мы упоминали о двух способах представления спектральных характеристик плотности энергии излучения: в расчёте на единицу частоты U _ω и на единицу длины волны U _l. Из (2) следует

.

По аналогии с (7.2) введём безразмерную переменную

x = 2π ħc /(l T).

Как и выше, решение задачи определяется максимумом безразмерной функции, на этот раз

.

В приближении Вина имеем

.

Численно e ⁵ ≈ 150, поэтому в данном случае следует ожидать, что (8.3) ещё точнее, чем (7.5) и здесь ошибка не превышает одного процента.

Проделав выкладки, аналогичные выполненным в предыдущем разделе, для разности

δ = 5 – x

получим

δ ≈ 0.0349,

и, соответственно,

Выпишем закон смещения Вина для распределения спектра по длинам волн:

(8.5) T ·l_max = 0.28979 см·К,

где температура выражена в градусах Кельвина, а длина волны — в сантиметрах.

Итак, максимум функции Планка приходится на разные длины волн, в зависимости от того, изучаем мы распределение по частотам или по длинам волн. Например, Солнце светит наиболее ярко на длине волны 5500Å, если измерения ведутся в шкале длин волн, и 8800Å — в шкале частот. Восприятие света человеческим глазом ближе к шкале длин волн. Поэтому в оценках положения максимума в спектре излучения Солнца обычно принято пользоваться формулой (8.5). Однако, если мы имеем дело со спектральным прибором, работающим в шкале частот — например, со спектральной решёткой, — то правильный результат даёт (7.6).