Число осцилляторов

Подсчёт числа осцилляторов мы выполним по методу, предложенному Рэлеем и реализованному Джинсом. Число осцилляторов dN _ω равно количеству стоячих волн в рассматриваемом объеме. Подсчёт числа колебаний можно выполнить и в терминах длин волн

для интервала от l до l + d l, но удобнее проводить его в шкале волновых чисел

для интервала от k до k + dk. Рассмотрим волны в кубе L Î L Î L. Введём волновой вектор k проекции которого на оси координат равны k_x, k_y, k_z. Внутри рассматриваемого объёма по каждому направлению должно укладываться целое число волн:

где N_x, N_y и N_z — целые положительные числа. Совокупность таких значений k_x, k_y, k_z обеспечивает наличие узлов на гранях куба. Модуль k волнового вектора выражается через его проекции, как модуль любого вектора:

Для нахождения числа осцилляторов удобно воспользоваться простым геометрическим приёмом. Выберем N_x, N_y и N_z из формулы (2.4) за координатные оси в воображаемом пространстве чисел. На рис. 2.1 изображена часть этого пространства. Каждой тройке чисел N_x, N_y и N_z на этом рисунке отвечает точка. Введём величину

Если числа N_x, N_y и N_z достаточно велики, то их функция N будет меняться почти непрерывно и на рис.(2.1) изобразится радиус-вектором. Согласно (2.4–6), модуль волнового вектора однозначно выражается через N:

Отсюда следует, что число волн с модулем волнового вектора, лежащим в интервале от k до k + dk, равно числу чисел N в интервале от N до N + dN. Последнее равно числу точек, попадающих в шаровой слой между сферами радиусом N и N + dN, а именно,

Таким образом, число волн, или число осцилляторов с величиной волнового числа между k и k + dk и с определённым направлением поляризации в объёме V = L ³ равно

Последнее равенство справа получилось после дифференцирования (2.7). Нам осталось умножить полученное выражение на 2 — число независимых направлений поляризации излучения, и, воспользовавшись формулой (2.3), перейти к шкале частот:

В силу большой важности (2.8), приведём другой его вывод, основанный на формуле (2.3) первой главы

для числа квантовых состояний dN в элементе фазового объёма d G. Проинтегрировав последнюю формулу по всем пространственным координатам, получим, что число квантов в объёме V и в элементе dp_x dp_y dp_z пространства импульсов равно V dp_x dp_y dp_z / h ³. Теперь перейдём к сферическим координатам в пространстве импульсов

dp_xdp_ydp_z = p ² dp sinq d j d q

и проинтегрируем по угловым переменным:

Итак, в пространстве импульсов объём шарового слоя радиусом p и толщиной dp равен 4π p 2 dp. С помощью формулы p=ħ ω /c перейдём от интервала импульсов фотона к диапазону частот излучения:

откуда следует выражение для числа квантов в объёме V и в интервале частот d ω с заданным направлением поляризации:

Если теперь учесть наличие у фотона двух независимых поляризаций, то снова получится формула (2.8). Примечательно, что она не содержит постоянной Планка. Это обстоятельство служит указанием на то, что она может быть получена в рамках классического рассмотрения.

Теперь вычислим среднюю энергию осциллятора. Рассмотрим последовательно случаи классического и квантового осцилляторов