Примеры. В каких условиях можно ожидать проявления квантовых свойств осцилляторов?

В каких условиях можно ожидать проявления квантовых свойств осцилляторов? В общем случае — когда малы числа заполнения. Рассмотрим следующие примеры.

1) Макроскопический случай. Частота колебаний механических приборов — пружин, маятников — по порядку величины близка к обратной секунде: ω ~ 1 с ^{– 1}. Соответствующий квант энергии равен

ε = ħ ω ~ 10^–27 эрг ~ 10^–15 эВ ~ 10^–11 К.

Энергетическая щель между уровнями получилась настолько малой, что ни при каких достижимых в настоящее время температурах квантования таких осцилляторов мы наблюдать не можем.

2) Радиодиапазон. Длина волны, на которой работает 100–метровый телескоп под Бонном, равна 6 см. Частота излучения равна ω = 2π c/l ~ 3·10¹⁰ с^–1, а энергия кванта

ε ~ 3·10^–17 эрг ~ 3·10^–5 эВ ~ 0.3 К.

Известно, что этот инструмент в состоянии измерять потоки радиоизлучения около 10^–28 /(Вт м‍^–‍2 Гц) в полосе частот Dn от 200 МГц до 500 МГц. Примем

Dn = 300 МГц = 3·10⁸ Гц.

Поток излучения во всей полосе частот равен

3·10^–20 Вт м^–2 =3·10^–17 эрг см^–2 с^–1.

Сравнивая эту величину с энергией кванта 10^–17 эрг, приходим к выводу, что телескоп регистрирует в среднем приход трёх фотонов за секунду на один квадратный сантиметр. Здесь уже могут проявляться квантовые свойства излучения. Однако возникает непростой вопрос: как на площадке размером один квадратный сантиметр локализуется фотон с длиной волны 6 см. Этот вопрос мы рассмотрим ниже.

3) Атом. Характерная частота в данном случае равна частоте обращения электрона вокруг ядра и, согласно приведённым выше оценкам, составляет примерно ω ~ 10¹⁶ с^–1. Отсюда следует диапазон энергий:

ε ~ 10^–11 эрг ~ 10 эВ ~ 10⁵ К.

В этом случае дискретность энергетических уровней является основным фактором.

2.6 Предельные случаи формулы Планка

Сведения о предельных случаях больших и малых частот собраны в таблице. Слева — низкие частоты (область Рэлея–Джинса), справа — высокие (область Вина).

Большое число осцилляторов задействовано в колебаниях	Заселение возбуждённых состояний осциллятора экспоненциально малó
U ω d ω = ω2 T d ω/(π2 c 3)	U ω d ω = ħ ω3 exp(– ħ ω/ T) d ω/(π2 c 3)

Формулы в последней строке таблицы представляют собой предельные случаи функции Планка.