Ранг матриці

Розглянемо матрицю = . Мінором k-го порядку матриці А називають визначник матриці, усі елементи якого знаходяться на перетині вибраних k рядків і k стовпців матриці А, і позначається . Порядок мінору матриці не може бути більшим, ніж найменше з чисел m, n, тобто .

Ранг матриці А – це число r яке дорівнює найвищому порядку відмінного від нуля її мінору: . Для знаходження рангу матриці використовують еквівалентні перетворення матриць. Можна довести, що ранги еквівалентних матриць однакові.

Приклад. Знайти ранг матриці

.

Знайдемо мінор 3-го порядку

.

Але маємо мінор другого порядку, який відмінний від нуля:

.

Таким чином, ранг матриці дорівнює 2.

Для обчислення рангу матриці важливе значення мають елементерні перетворювання матриці, при яких її ранг не змінюється. Елементарними перетворюваннями матриці називають:

а) множення всіх елементів рядка на одне і те саме число, відмінне від нуля;

б) додавання до елементів ряда матриці відповідних елементів іншого ряда, помножених на одне і те саме число;

в) переміщення місцями рядів в матриці;

г) викреслення рядів матриці, всі елементи яких дорівнюють нулю.

Матриці,що одержуються елементарними перетворюваннями,називаються еквівалентними.

Приклад: Знайти ранг матриці

.

,

тобто ранг матриці дорівнює 2.

Запитання для самодіагностики

1. Що називають матрицею?

2. Чим визначається розмір матриці?

3. Які види матриць вам відомі?

4. Яка матриця називається:

а) особливою;

б) неособливою?

5. Яка матриця називається транспонованою?

6. Які матриці називаються рівними?

7. Які матриці можна додавати?

8. Як помножити матрицю на число?

9. Які матриці можна перемножувати? За яким правилом перемножують матриці?

10. Яка матриця називається оберненою до даної матриці? Чи для будь-якої вона існує?

11. Які перетворення матриці називаються елементарними?

12. Як знайти обернену матрицю?

13. Що називається рангом матриці?

14. Що розуміють під елементарними перетвореннями?

15. Які методи знаходження рангу вам відомі?