Розв’язання системи за допомогою оберненої матриці

У загальному випадку систему n лінійних рівнянь з n невідомими записують у вигляді:

де – невідомі;

-матриця системи

– коефіцієнти вільних членів

Розв’язком системи лінійних рівнянь називається сукупність чисел , яка є розв’язком кожного з рівнянь системи. Наведена форма запису називається канонічною. Існують форми запису:

матрична ,

де – матриця системи рівнянь розміру ;

– матриця-стовпець розміру ;

– матриця-стовпець розміру ;

Якщо помножити обидві частини рівності праворуч на , одержимо

За визначенням оберненої матриці , а , тобто .

Приклад. Розв’язати систему лінійних рівнянь за допомогою оберненої матриці

Матриця системи

; .

Обчислимо визначник

.

Знайдемо матрицю, обернену матриці .

1. Складемо матрицю з алгебричних доповнень

.

2. Транспонуємо матрицю

.

3. Поділимо матрицю на величину визначника

.

4. Перевіримо правильність обчислень

× .

Отже, обернена матриця знайдена правильно.

5. Визначаємо розв’язок ситеми

× .

Таким чином

; ; .