Обернена матриця та її знаходження

Аналогом операції частки чисел вводиться операція знаходження матриці, оберненої до даної.

Означення. Матрицю називають оберненою до матриці , якщо добуток цієї матриці як ліворуч так і праворуч на матрицю дорівнює одиничній матриці, тобто . Як видно з останніх рівностей, що обернену матрицю може мати тільки квадратна матриця, але ця умова недостатня.

Достатньою умовою наявності оберненої матриці є умова , де визначник даної матриці. Доведемо достатність цієї умови.

Дана матриця , при чому

.

1. Складемо матрицю з алгебричних доповнень елементів даної матриці

,

2. Транспонуємо цю матрицю

,

3. Поділимо елементи матриці на величину визначника

.

4. Треба довести, що

,

тобто

.

Приклад: Знайти матрицю, обернену матриці А:

.

Обчислимо визначник матриці А:

.

Знаходимо всі алгебраїчні доповнення елементів :

, , ,

, , ,

, , ,

, .