Вычисление ошибки выборки

Формулы для расчета ошибки репрезентативности при пропорциональном стратифицированном отборе даны в таблице 7.

Формулы ошибки репрезентативности для стратифицированной выборки (пропорциональный отбор). [3, 22]

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный отбор.
Среднее значение	A tW	\ / г d "}
признака.	Л*~М п	А* -м v n) V п
Лп 7 Я МП1ЛН/]К/1	A -tf^	A t\W(\ n\
	A*~M п	х 1 п ( n)

Где:

-2_2Х"/ 2

0" - -г-^------ - средняя из внутригрупповых дисперсии, где <т - дисперсия в группе i, a

2-"/

и_; - численность группы i.

" То есть пропорционально дисперсии признака в группах.

___2>,?,л

pq - —^=;------ " средняя величина доли признака,

Z_J '

/?, - доля признака в группе 1,

Ч, =1-А

.Яс//о, что доверительный интервал при стратифицированной выборке будет меньше (выборка точней), чем при случайной выборке, т.к. средняя из внутригрупповых дисперсий меньше общей дисперсии¹².

Строгое математическое доказательство того, почему при стратифицированной выборке мы имеем право вместо общей дисперсии ставить среднюю внутригрупповых дисперсий и тем самым уменьшать величину доверительного интервала при сохранении той же надежности, можно найти в [5, 104-107].

На «качественном» же уровне можно сказать следующее. Если представить доверительный

,- „ „ /_2L\

интервал как дисперсию средней или как ошибку оценки этой средней (г), то при

стратифицированном отборе эта ошибка оценки может быть выражена как «взвешенное среднее ошибок, сделанных при оценивании по отдельным слоям» [5, 106], что и будет средней из внутригрупповых дисперсий.

То есть нам достаточно обеспечить несмещенную оценку всех групповых средних, чтобы обеспечить несмещенную оценку общей средней. А точность оценки групповых средних зависит только от дисперсии внутри наших групп и количества опрошенных.

Другая составляющая общей дисперсии (межгрупповая дисперсия) не играет здесь никакой роли, т.к. если мы обеспечим попадание групповых средних в свои доверительные интервалы (которые зависят от внутригрупповых дисперсий), то мы автоматически добиваемся попадания общей средней в свой доверительный интервал.

Иными словами, за счет моделирования выборки мы «покрываем» межгрупповую дисперсию (исключаем возмож, (ость случайной ошибки в оценке межгрупповой дисперсии). Если же наше конструирование не будет соответствовать реальности, либо группы в самой генеральной совокупности окажутся размытыми¹³, то величина межгрупповой дисперсии будет минимальной, что сводит на нет преимущества стратифицированной выборки.

Таким образом, получаем, что дисперсия средней и, значит, величина доверительного интервала зависит лишь от внутригрупповых дисперсий.

При пропорциональном отборе вместо общей дисперсии берется средняя внутригрупповых дисперсий, а при непропорциональном отборе — сумма взвешенных по объему всей генеральной совокупности внутригрупповых дисперсий.

Теперь перейдем к непропорциональной выборке, т.е. выборке с неодинаковой удельной долей страт. В следующей таблице даны формулы ошибки репрезентативности для такой выборки.

Таблица 7.

Формулы ошибки репрезентативности для стратифицированной выборки (непропорциональный отбор). [3,

_________________ 24]

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный отбор.
Среднее значение признака.	A*='' Jl"7' N? N\^nf '	д,=>' k^'fi-"'! N^n, '(N,j

То же самое справедливо и для доли, т.к. pq есть не что иное, как дисперсия доли.

'' Под «размытостью» понимается большая внуригрупповая и маленькая межгрупповая дисперсии. Иными словами, рассматриваемый нами признак примерно равномерно распределен в выделенных группах.

Доля признака.

дт=г',|1л*лг,2 N\^ n,

Д^,1 I^P^ff,^,»,] ' N^ п, '(N,j

Где:

TV, - объем страты в генеральной совокупности.

w,. - объем страты в выборке.

Как видно из формул, при непропорциональном отборе вместо средней внутригрупповых дисперсий берется сумма взвешенных по объему генеральной совокупности внутригрупповых дисперсий.

Стратифицированная выборка может проводиться пропорционально дисперсии признака в группах. Формулы ошибки репрезентативности для этого случая представлены в таблице 9.

Таблица 8.