Вычисление ошибки репрезентативности для собственно случайной выборки

Пусть нам необходимо оценить средний возраст некоторой группы людей по ограниченному числу наблюдений п. Оценкой среднего значения непрерывной случайной величины является математическое ожидание:

со

Х = М(Х) = \x-f(x}dx.

-00

Естественной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое:

1 "

*•-£*••

От оценки необходимо потребовать следующие свойства:

1. состоятельность - оценка называется состоятельное, если при увеличении числа
опытов оценка сходится по вероятности с искомым параметром,

2. несмещенность - оценка называется несмещенной, если выполнялось условие

М(х) = X,

3. эффективность - оценка называется эффективной, если ее дисперсия минимальна
по сравнению с другими.

Среднее арифметическое обладает этими свойствами³.

Оценка параметра является функцией от случайных величин х_], х₂,... ,х_п, поэтому сама является случайной величиной. Другими словами, мы можем сделать множество выборок, для каждой из которых значение оценки будет различно. По закону больший чисел распределение оценки является нормальным с математическим ожиданием

М(х) = Х.,..• и дисперсией

^=Ар⁴- -V п

где сг² - генеральная дисперсия.

Тогда можно рассчитать вероятность того, что х попадет в интервал \Х - А, X + а]. Поскольку нам неизвестна величина X, то мы будем говорить о вероятности, с которой интервал [jc - А, х + а] накроет X. Эта которая равна площади под графиком функции распределения случайной величины Зс (см. рис. 2):

Х + А (х-Х)²

Р(\х-Х\<&) =------ _Т= \е ²-² ах.

0--Л/2-Л- _х_„

X - А X X + Д J

Рисунок 2. Распределение выборочной оценки среднего.

Мы не будем приводить доказательство.

Мы не будем приводить доказательство этих соотношений.

где р ~ доля признака, q = (1 - р).

Тогда для повторной выборки из (1)

A = J£i<3X

V п

для бесповторной выборки из (2)

U-0-£)

A=/-J------------ ^(4).

V /7

Пример 2. Из 200 опрошенных 55% - женщины. Действуем аналогично примеру 1. Выборку также можно считать большой. Тогда z =1,96 для 95% надежности.

АМ.96.,Р^^? = 0.07.

V 200

С вероятностью 95% доля женщин в ГС находится в интервале от 48% до 62%.

Таблица 1. Формулы ошибки репрезентативности для собственно случайного отбора.ГЗ, 161

Предмет изучения.	Повторный отбор.	Бесповторный отбор.
Среднее значение признака.	Р" 4 = zJ-V п	I*2 / ч A = zJ-(l-l) V п
	Л-zfw	A zlPq(] "}
Доля признака.	А V п	i п ( n)

Где:

z - коэффициент доверия,

п - объем выборки,

s - выборочная дисперсия,

N - объем генеральной совокупности,

р - доля признака в выборочной совокупности.