Отношения частичного порядка

Отношение r называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X. Множество X в этом случае называют частично упорядоченным и указанное отношение часто обозначают символом £, если это не приводит к недоразумениям.

Отношение, обратное отношению частичного порядка будет, очевидно, отношением частичного порядка.

Пример

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r есть отношение частичного порядка.

б) Отношение А Í В на множестве подмножеств некоторого множества U есть отношение частичного порядка.

в) Отношение делимости на множестве натуральных чисел есть отношение частичного порядка.

Определение функции, основные понятия и свойства

Переменная y называется функцией от переменной x, если по некоторому правилу или закону каждому значению x соответствует одно определенное значение y = f (x). Область изменения переменной x называется областью определения функции, а область изменения переменной y – областью значений функции Рассмотрим другое определение функции с точки зрения отношений.

Определение. Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с равными первыми компонентами и различными вторыми.

Такое свойство отношения называется однозначностью или функциональностью.

Определение Если f – функция, то D_f – область определения, а R_f – область значений функции f.

Определение Если D_f = X и R_f = Y, то говорят, что функция f определена на X и принимает свои значения на Y, а f называют отображением множества X на Y (X ® Y).

Определение. Функции f и g равны, если их область определения – одно и то же множество D, и для любого x Î D справедливо равенство f (x) = g (x).

Если f – биекция, а X и Y – конечные множества, то = .

Определение Если область значений функции D_f состоит из одного элемента, то f называется функцией-константой.

Определение. Функция, реализующая отображение X ₁ ´ X ₂ ´...´ X_n ® Y называется n-местной функцией.