Пропорционально - дифференциальное регулирование или регулирование по производным

При регулировании по первой производной от ошибки осуществляется зависимость:

. (3.13)

Регулирующее воздействие (выходной сигнал регулятора) пропорционально скорости изменения ошибки. Это регулирование не имеет самостоятельного значения, т.к. в установившемся состоянии производная от ошибки равно нулю и регулирование пропадает. Однако оно может играть весьма большую роль в переходных процессах и вообще в динамике в качестве вспомогательного средства, так такое регулирование позволяет учитывать не только наличие ошибки, но и тенденцию к ее изменению (росту или уменьшению).

Логичным является формирование управляющего воздействия с учетом, как самой ошибки, так и скорости ее изменения. Регулятор, реализующий такое управление носит название пропорционально-дифференциального или просто ПД - регулятора. Математически такой закон управления можно записать в виде

. (3.14)

где К _р и К _д - коэффициенты пропорциональности П- и Д- составляющих закона регулирования,

Т _д - время предварения или время дифференцирования.

Что позволяет представить структурно ПД - регулятор в виде параллельного соединения П- и Д- регуляторов с суммированием их управляющих воздействий.

В результате введение регулирование по производной от ошибки увеличивает скорость реакции системы регулирования, то есть повышает ее быстродействие, что приводит к снижению ошибок в динамике.

Часто передаточную функцию ПД - регулятора записывают в виде:

. (3.15)

Формально ПД - регулятор может быть реализован на базе интегрального операционного усилителя по схеме рисунке 3.8.

Рис.3.8. Аналоговый пропорционально-дифференциальный регулятор.

где , и .

Однако работа данной схемы сопровождается значительными высокочастотными помехами, для которых конденсатор C представляет собой сопротивление близкое к нулю. Для повышения устойчивости работы ПД - регулятора последовательно с конденсатором включается дополнительный резистор R3 с небольшим сопротивлением, которое ограничивает токи высокочастотных помех. Этот резистор на рисунке показан штриховой линией.

При наличии такого резистора передаточная функция регулятора приобретает вид:

, (3.16)

где , сек и , сек.

В статике передаточная функция ПД-регулятора совпадает с передаточной функцией П-регулятора, следовательно, АСР с ПД-регулятором также присуща статическая ошибка.

В области рабочих частот ПД-регулятор вносит положительный сдвиг по фазе в систему, увеличивая её запас устойчивости. Поэтому АСР с ПД-регулятором имеет наилучшие динамические свойства. По этой же причине значение К _р может быть выбрано больше чем в случае П-регулятора. Поэтому статическая ошибка в АСР с ПД-регулятором меньше, чем в системе с П-регулятором. Тем не менее, ПД-регуляторы практически не применяются, т.к. при наличии высокочастотных помех, наложенных на низкочастотный полезный сигнал, операция дифференцирования резко ухудшает соотношение сигнал/шум, в результате чего амплитуда производной шума может существенно превысить амплитуду производной полезного сигнала.

В некоторых случаях в закон регулирования могут вводиться производные более высоких порядков -вторая, третья и т.д. Это призвано улучшить динамические характеристики системы, однако техническая реализация введения производных выше второго порядка встречает значительные трудности.

Системы с ПД - регуляторами являются статическими и, следовательно, им свойственны с позиции статики все те же свойства и недостатки, что и для систем П - регуляторами. Устранение их достигается ведением регулирования по ПИД - закону.

Пропорционально – интегрально - дифференциальное регулирование.

Регулирующее воздействие, формируемое ПИД - регулятором пропорционально ошибке, скорости изменения ошибки и интегралу от ошибки, т.е.

. (3.17)

Более распространенной в литературе является следующая форма записи ПИД - закона регулирования

. (3.18)

Причем величина T_д, характеризующая степень введения производной в закон регулирования, называется временем предварения. В динамическом отношении эти регуляторы подобны системе из трех параллельно включенных звеньев: пропорционального, интегрирующего и дифференцирующего. При T_д=0 регулятор превращается в ПИ регулятор. Если, кроме того, T_и® ¥, то получим П - регулятор.

Передаточная функция ПИД - регулятора может быть получена как

, (3.19)

. (3.20)

Одна из множества возможных реализаций ПИД - регулятора на базе интегрального операционного усилителя представлена схемой на рисунке 3.22.

Рис.3.9. Аналоговый ПИД регулятор.

Где: ; ; .

Для снижения уровня помех на выходе регулятора и повышения устойчивости его работы последовательно с конденсатором С1 может быть включен дополнительный резистор R₃ с небольшим сопротивлением, как это делалось в схеме с ПД - регулятором. Этот резистор точно таким же образом влияет на все динамические характеристики регулятора.

При наличии дополнительного резистора R₃ передаточная функция регулятора описывается выражением

, (3.21)

где: ; ; ; .

Системы с ПИД - регуляторами совмещают нулевую статическую ошибку с хорошей динамикой, поскольку в области рабочих часто ПИД – регулятор так же, как и П-регулятор, не вносит отрицательный фазовый сдвиг в систему.

Для повышения помехоустойчивости ПИД-регулятора на практике соотношение время предварения - время изодрома ограничевается сверху неравенством:

(3.22)

При выборе закона регулирования учитывают следующие соображения.

Если статическая ошибка недопустима, регулятор должен содержать интегрирующую составляющую. В порядке ухудшения динамических свойств законы регулирования располагаются в следующем порядке: ПД, ПИД, П, ПИ, И.

Регуляторы с Д-составляющей обладают плохой помехозащищенностью. По этой причине ПД-регуляторы практически не применяются, а ПИ-регуляторы применяются при ограничении (3.22). Наибольшее применение находят на практике ПИ- и ПИД-регуляторы.