Частотный критерий устойчивости

Рассмотрим полином, который получается из характеристическо­го полинома Q*(z) при подстановке в него z = e^sT:

(13.2.1)

Этот полином является характеристическим полиномом в D-изображениях. Установим, какими должны быть нули (т.е. корни характеристического уравнения в D-изображаниях), чтобы система была устойчива.

Представим переменную z в виде . Подставив это выражение в z=e^sT и прологарифмировав, получим

. (13.2.2)

Так как при |z|<1, то условие устойчивости дискретных систем |z_i|<1 (i = 1, 2,..., п) принимает вид

. (13.2.3)

Таким образом, для того чтобы дискретная система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения в D-изображениях расположились в левой s-полуплоскости.

В силу равенства , если z_i является корнем характеристического уравнения Q*(z) = 0, то число

будет корнем характеристического уравнения в D-изображениях при любых к = 0, ±1, ±2,... Иначе говоря, характеристическое уравнение в.D-изображениях имеет бесконечное множество решений.

Корни s_i, у которых мнимая часть будем называть основными корнями характеристического уравнения в D-изображениях. Число основных корней равно степени характеристического уравнения. Так как неосновные корни отличаются от соответствующих основных только мнимой частью, для исследования устойчивости достаточно рассмотреть только основные корни.

Принцип аргумента.

Если к основных нулей характеристического полинома

расположены в левой полуплоскости, а остальные п—к основных нулей — в правой полуплоскости, то приращение при изменении от до равно :

, 13.2.4)

а при изменении от 0 до равно :

.(13.2.5)

Доказательство. Пусть z₁, z₂,..., z_n — нули характеристического полинома Q*(z), a s₁, s₂,..,s_n — нули характеристического полинома . Тогда эти полиномы можно представить в виде произведения

, (13.2.6)

. (13.2.7)

При |z|=1, положив в (13.2.2) , получим , и соответственно z можем представить в виде

.

Этот вектор при изменении от до делает на z-плоскости полный оборот в положительном направлении (против движения часовой стрелки), и его конец описывает окружность единичного радиуса. При этом вектор делает полный оборот относительно конца вектора z_i в положительном направлении, и из­менение его аргумента равно (рис. 13.2.1, а), если |z_i| < 1, и изменение аргумента этого вектора равно нулю, если |z_i|> 1 (рис. 13.2.1, б). Поэтому (см. (13.2.6))

,

если к нулей полинома Q*(z) находятся внутри единичного круга, а остальные п—к — вне единичного круга.

Рис13.2.1. К доказательству принципа аргумента: |z_i| < 1 (а) и |z_i| > 0 (б)

И так как Res_i <0 при |z_i| < 1и Res_i > 0 при |z_i|> 1, изменение аргумента (см. (13.2.7)) определяется следующим образом:

если к основных нулей характеристического полинома расположены в левой, а остальные п — к основных нулей — в правой s-полуплоскости.

Теперь покажем справедливость формулы (13.2.5). Так как

, функция является комплексно-сопряженной функции . Аргументы комплексно-сопряженных функций отличаются только знаком:

.

Отсюда следует, что

и из (13.2.4) получаем (13.2.5).