Интегральные оценки качества

Интегральные оценки дают обобщенную оценку быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины, в виде единого числового значения.

Находят применение первые три из перечисленных в списке ИТ-оценки:

I ₁ и I ₂ - линейные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).

I и I' - квадратичные ИТ-оценки (не чувствительны к высшим производным координат САР).

I + T ₁² I' - улучшенная квадратичная ИТ-оценка (чувствительна к значению скоростной составляющей в движении координат САР).

I + T ₁² I' + T ₂⁴ I'' +... - ИТ-оценки более высоких порядков (чувствительны к значению скорости, ускорению,... координат САР).

Пусть имеем переходные функции h (t).

Рассмотрим линейные ИТ-оценки:

.

Очевидно, что чем меньше значение оценки I ₁ или I ₂, тем лучше переходный процесс, но:

Оценка I ₁ не может применяться к колебательному переходному процессу.

Аналитическое вычисление оценки I ₂ по коэффициентам уравнения ошибки затруднено.

Одно значение оценки I ₂ может соответствовать переходным процессам с разной колебательностью (если совпадают мажоранты и миноранты).

Ограничения "a" и "b" для оценок I ₁ и I ₂ преодолеваются квадратичными ИТ-оценками I и I':

.

Заметим, что оценку I' можно получить нахождением оценки I, если подать на вход САР не ступенчатую 1(t), а дельта функцию (t)=1'(t). Применение оценки I' ограничено тем, что она не чувствительна к установившемуся значению ошибки x _.

Ограничение "b" для оценок I ₁, I ₂, I и I' снимается улучшенной квадратичной ИТ-оценкой:

,

где: x ₀ - начальное значение отклонения в переходном процессе.

Очевидно, что I + T ₁² I' будет минимальна при T ₁ x' + x = (T ₁ s +1) x = 0. Решение этого ДУ есть экспонента: , а .

Т.е. улучшенная квадратичная ИТ-оценка I + T ₁² I' будет иметь минимум при приближении переходной функции к заданной экспоненте (с постоянной времени T ₁).

Можно использовать улучшенные ИТ-оценки более высоких порядков. Например:

.

Здесь оценка будет иметь минимум, только при перемещениях координат САР с определенными скоростью и ускорением, которые определены постоянными времени T ₁ и T ₂ соответственно. Очевидно, что дифференциальным уравнением второго порядка можно определить желаемый переходный процесс с заданным затуханием.