Запас устойчивости

Факт обнаружения устойчивости не дает уверенности в работоспособности системы.

Возможны неточности (погрешности), так как:

математическое описании системы идеализировано;

часто бывает произведена линеаризация звеньев;

неточность определения параметров;

изменение условий работы (по отношению к моделируемым).

Следовательно, необходим запас устойчивости.

При использовании критерия Гурвица запас определяется величиной предпоследнего минора:

Если - запас устойчивости отсутствует; - запас имеется.

Запас устойчивости в системе характеризует степень устойчивости.

Запас устойчивости и степень устойчивости можно определить по расположению корней характеристического уравнения и по частотных характеристикам системы.

Аналогично можно определить запас устойчивости по логарифмическим характеристикам L(w) и j(w), применяемым при определении устойчивости по критерию Найквиста.

Оценка запаса устойчивости

По виду АФХ разомкнутой системы оценивают запас устойчивости:

• по амплитуде - L ₁=20lgb₁ и L ₂=20lgb₂
• по фазе m₁=180+j₁

· где: j₁ - запаздывание по фазе на частоте единичного усиления при | W (j w)|= A (w)=1 или L (w)=0 (по ЛАЧХ).

· Для абсолютно устойчивых систем (n <3) имеет смысл только величина L ₁, т.к. L ₂®¥. Для хорошо демпфированных систем bÎ[2...10), т.е. [6...20) дБ.

· Запас устойчивости тем больше, чем больше b и m₁. Используя b и m₁ можно задать запретную область для АФХ. Но недостаток заключен в том, что если АФХ будет касаться запретной области в разных точках, перерегулирование s будет разным.

Если имеется АЧХ замкнутой системы, то удобным критерием запаса устойчивости являются показатели колебательности по заданию М и ошибке М_Е как максимумы соответственно АЧХ по заданию и АЧХ по ошибке:

,

Показатель колебательности по заданию М равен максимальному значению приведенной к коэффициенту усиления в области низких частот АЧХ замкнутой системы. Т.е. вынужденное движение на резонансной частоте будет иметь амплитуду в M раз большую, чем в области низких частот. И чем больше M, тем меньше запас устойчивости.

Если имеется только АФХ разомкнутой системы W (j w), то показатель колебательности M удобно использовать в виде нанесенной сетки, представляющей линии уровня M Î [1/4; 1/2; 1/0,707; 1,41; 2; 4]. Выполним расчет сетки:

где: (1) - уравнение окружности с радиусом R, и центром в точке C.

Показатель колебательности М характеризует АСР по задающему воздействию и больше пригоден для оценки качества следящих систем. Для систем стабилизации целесообразнее использовать показатель колебательности Ме.

Рассмотрим АЧХ замкнутой АСР по ошибке

(8.2.16)

АЧХ,приведенная на рисунке 8.2.8 является характерной для реальных АСР. На средних частотах Ае(ω) имеет максимум Ме, а с ростом ω стремится к единице, так как для большинства физически реализуемых систем .

Рисунок 8.2.8 – АЧХ замкнутой АСР по ошибке

Критерий Ме определяется как максимум амплитудно-частотной характеристики Ае(ω) замкнутой АСР по ошибке

(8.2.17)

Критерий Ме имеет ясный физический геометрический смысл:

Характеризует способность АСР подавлять возмущения; обеспечивает как и критерий М запас устойчивости.