Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Критерий устойчивости Гурвица



Для оценки устойчивости по этому критерию необходимо из коэффициентов характеристического уравнения составить определитель Гурвица по следующим правилам:

по главной диагонали выписываются все коэффициенты характеристического уравнения от а1 до аn в порядке возрастания индексов;

столбцы определителя заполняются коэффициентами от главной диагонали вниз по убывающим, а вверх- по возрастающим индексам;

места коэффициентов, индексы которых больше n или меньше нуля заполняются нулями.

Для примера составим определитель Гурвица, для системы 5-го порядка. Характеристическое уравнение системы имеет вид

где все коэффициенты строго больше нуля. Получим

.

Для того, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные вещественные части и система была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты и все диагональные определители определителя Гурвица были строго больше нуля.

Для устойчивости системы 5-го порядка необходимо выполнение условий

аk>0, k=0,1,2,...5;

D2 1а2 - а0а3>0;

D33D2 - а12а4>0;

D4 4D32а5D2 + а0а51а4 - а0а5)>0;

D5 5D4>0.

Так как при выполнении необходимого условия устойчивости всегда аn>0, то об устойчивости системы можно судить по определителям до Dn-1 включительно. Доказано, что если Dn-1=0, то система находится на колебательной границе устойчивости, т.е. имеет пару чисто мнимых корней. Из условия Dn-1=0 можно определить критические значения параметров системы, при которых она выходит на границу устойчивости.

Пример 6.1.1

Исследовать устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определить критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа. Система задана структурной схемой.

Рис.6.1.3. Структурная схема системы стабилизации угла тангажа.

На схеме обозначено:

ku- передаточное число (коэффициент передачи) автопилота по углу тангажа;

передаточная функция рулевого привода;

передаточная функция самолета по угловой скорости тангажа wz;

kwz - передаточное число автопилота по угловой скорости тангажа.

Для передаточной функции разомкнутой системы можно записать

где

Передаточная функция замкнутой системы примет вид

где

Составим определитель Гурвица

Оценим устойчивость системы для следующих значений параметров:

.

При этих значениях для коэффициентов характеристического уравнения получим

Следовательно, все коэффициенты характеристического уравнения замкнутой системы положительны и

Условия устойчивости выполнены и система при избранных параметрах устойчива.

Определим критическое значение передаточного числа по углу тангажа, для чего приравняем третий диагональный определитель нулю и сделаем преобразования.

Отсюда

В последнем выражении только d3 и d4 являются функциями коэффициента ku и подставив их в него, получим квадратное уравнение относительно этого коэффициента

Решив это уравнение, получим критическое значение передаточного числа по углу тангажа

Система устойчива, если ku<16.56.





Дата публикования: 2014-12-30; Прочитано: 341 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.008 с)...