Признаки Коши и Даламбера сходимости положительных рядов

Признаки Коши и Даламбера получаются в результате сравнения положительного ряда

с геометрической прогрессией

.

Признак Коши. Составим для ряда последовательность . Допустим, что последовательность имеет предел . Тогда при ряд сходится, а при ряд расходится.

Замечание1. В случае, когда , этот признак не дает возможности судить о поведении ряда. Действительно, для рядов и число . Вместе с тем, первый ряд расходится, а второй сходится.

Если сравнение ряда производить с геометрической прогрессией по Теореме 3, то мы придем к такому признаку:

Признак Даламбера. Рассмотрим для ряда последовательность

.

Допустим, что последовательность имеет предел . Тогда при ряд сходится, а при расходится.

Замечание2. Как показывают те же примеры рядов и этот признак также ничего не дает, когда .

6) Интегральный признак Маклорена – Коши.

Этот признак по форме отличается от всех предыдущих. Он построен на идее сопоставления ряда с интегралом. Пусть положительный ряд имеет форму

, (1)

где есть значение при некоторой функции , определенной для ; функцию эту предположим непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Рассмотрим какую – либо первообразную функции .

Интегральный признак. При сделанных предположениях относительно функции ряд (1) сходится или расходится в зависимости от того, имеет ли функция при конечный предел или нет.

Пример 1). Рассмотрим ряд .

Здесь ; . Следовательно, ряд сходится.

Пример 2). Рассмотрим ряд .

Здесь . Следовательно, ряд расходится.