Теоремы сравнения рядов

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливается путем сравнения его с другим рядом, заведомо сходящимся или расходящимся. В основе такого сравнения лежит следующая простая

Теорема 1. Пусть даны два положительных ряда

Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство: , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Иногда на практике более удобна следующая теорема, вытекающая из первой:

Теорема 2. Предположим, что . Если существует предел

,

то при оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Наконец, приведем еще одну теорему сравнения, также представляющую собой следствие первой.

Теорема 3. Если, хотя бы с некоторого места (скажем, для ), выполняется неравенство

,

то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда или – что то же – из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Пример 1. Рассмотрим ряд и сравним его с расходящимся рядом . Так как , то по Теореме сравнения 2 ряд расходится.

Рассмотрим ряд , где . Так как при таком ограничении на параметр для всех имеет место неравенство , а ряд расходится, то по Теореме сравнения 1 ряд также будет расходящимся при .

Рассмотрим ряд , где . Представим в виде , где , и рассмотрим ряд , который заведомо сходится. Так как , то при , откуда, по Теореме сравнения 1, и вытекает сходимость ряда при .

Ряд вида называется гармоническим. Таким образом, гармонический ряд сходится при и расходится при .