Законы распределения для непрерывных величин

К непрерывным случайным величинам могут быть отнесены наработка на отказ, наработка между двумя отказами, время восстановления, ресурс.

В таблице 3.2 приведены законы распределения, получившие наибольшее применение в теории надежности. Условные обозначения: t – наработка до отказа – случайная, непрерывная, положительная величина; s – среднеквадратическое отклонение; Т – средняя наработка на отказ; m, l – параметры модели; Ф – нормированная функция Лапласа [4].

Таблица 3.2 – Законы распределения сроков службы

Закон	¦(t)	P(t) и F(t)
Нормальный (Гаусса)
Логарифмический нормальный
Экспоненциальный
Вейбулла
Продолжение таблицы 3.2
Релея
Гамма-распределение
Равномерное распределение

Рассмотрим основные числовые показатели и краткую характеристику каждого из них.

1 Нормальное распределение (распределение Гаусса) широко используется для решения задач вычисления надежности объектов, для которых типичен износ. Отказы объектов носят постепенный характер вследствие старения элементов.

Плотность вероятности момента отказов

Она зависит от двух параметров: среднего значения времени работы до отказа Т ₀ и среднеквадратичного отклонения наработки на отказ σ.

Плотность нормального распределения имеет колоколообразную форму, симметричную относительно среднего значения Т ₀.

Вероятность безотказной работы

, (3.15)

где Ф – табулированный интеграл Лапласа.

Интенсивность отказов

. (3.16)

Нормальная плотность распределения отлична от нуля при t < 0. Этот недостаток несущественен, если Т ₀ >> σ. При этом условии частью кривой распределения при t < 0 можно пренебречь. Если это условие не выполняется, то использование нормального распределения приводит к погрешностям.

Часть кривой распределения при t < 0 отсекают. Получают усеченное нормальное распределение.

Формулы к усеченному нормальному распределению следующие.

Вероятность безотказной работы:

. (3.17)

Интенсивность отказов:

. (3.18)

Среднее время безотказной работы:

. (3.19)

Таблица 3.3 – Значение функции Лапласа Ф(s)

s	Ф	s	Ф
0,0	0,5000	1,6	0,9452
0,1	0,5398	1,7	0,9553
0,2	0,5793	1,8	0,9641
0,3	0,6179	1,9	0,9713
0,4	0,6554	2,0	0,9772
0,5	0,6915	2,1	0,9821
0,6	0,7257	2,2	0,9861
0,7	0,7580	2,3	0,9893
0,8	0,7881	2,4	0,9917
0,9	0,8159	2,5	0,9938
1,0	0,8413	2,6	0,9952
1,1	0,8643	2,7	0,9964
1,2	0,8849	2,8	0,9973
1,3	0,9032	2,9	0,9981
1,4	0,9191	3,0	0,9986
1,5	0,9332

Если вероятность безотказной работы задана и требуется определить время t = T, при котором обеспечивается данное значение P(t), то пользуются таблицами квантилей нормального распределения (таблица 3.4).

Таблица 3.4 – Квантили z нормального распределения

P	z	P	z
0,50	0,0000	0,80	0,8416
0,51	0,0250	0,81	0,8779
0,52	0,0501	0,82	0,9154
0,53	0,0753	0,83	0,9542
0,54	0,1004	0,84	0,9940
0,55	0,1257	0,85	1,0360
0,56	0,1510	0,86	1,0800
0,57	0,1764	0,87	1,1260
0,58	0,2019	0,88	1,1750
0,59	0,2275	0,89	1,2270
0,60	0,2533	0,90	1,2820
0,61	0,2793	0,91	1,3410
0,62	0,3055	0,92	1,4050
0,63	0,3319	0,93	1,4760
0,64	0,3585	0,94	1,5550
0,65	0,3853	0,95	1,6450
0,66	0,4125	0,96	1,7510
0,67	0,4399	0,97	1,8810
0,68	0,4677	0,98	2,0540

Продолжение таблицы 3.4

P	z	P	z
0,69	0,4959	0,99	2,3260
0,70	0,5244	0,991	2,3660
0,71	0,5534	0,992	2,4090
0,72	0,5828	0,993	2,4570
0,73	0,6128	0,994	2,5120
0,74	0,6433	0,995	2,5760
0,75	0,6754	0,996	2,6520
0,76	0,7063	0,997	2,7480
0,77	0,7388	0,998	2,8780
0,78	0,7722	0,999	3,0900
0,79	0,8064

Нормальный закон рекомендуется применять при постепенных отказах, особенно тогда, когда начальное значение параметра имеет большую дисперсию, а его изменение во времени протекает достаточно стабильно.

Интенсивность отказов при нормальном и усеченном нормальном распределениях резко возрастает с течением времени, что характерно для стареющих устройств.

2 Логарифмически нормальное распределение. Этому закону подчиняется случайная величина, логарифм которой распределен нормально. Логарифмически нормальное распределение является асимметричным и определяется двумя параметрами Т₀ и s₀. Основные зависимости –

(3.20)

и

. (3.21)

Числовые показатели логарифмически нормального распределения определяются по формулам:

- математическое ожидание наработки до отказа

; (3.22)

- дисперсия

. (3.23)

Логарифмически нормальный закон распределения может быть применен для описания случайного времени наработки (срока службы) до отказа во многих случаях, особенно в тех, когда дисперсия выходного параметра возрастает по мере старения машины.

3 Экспоненциальное распределение. Экспоненциальный закон является однопараметрическим, удобным для расчетов надежности, особенно для сложных расчлененных систем, и широко применяется при решении различных задач. Для этого закона используют формулы

, (3.24)

, (3.25)

где l=1/T_m – параметр распределения, определяющий интенсивность отказов;

T_m – средняя наработка до отказа.

Экспоненциальное распределение хорошо описывает случай, когда вероятность отказа не зависит от длительности предыдущего использования изделия, т.е. когда возникают в основном внезапные, а не постепенные отказы.

4 Распределение Вейбулла. Согласно распределению Вейбулла, вероятность безотказной работы определяется по формуле

, (3.26)

где λ ₀ и В – параметры.

Частота отказов

. (3.27)

Интенсивность отказов

. (3.28)

Среднее время безотказной работы

, (3.29)

где – табулированная гамма-функция.

.

Закону Вейбулла хорошо подчиняется распределение отказов в объектах, содержащих большое количество однотипных неремонтируемых элементов (полупроводниковых приборов, микромодулей и т. д.).

Данное распределение является очень универсальным: при В = 1 данное распределение превращается в экспоненциальное; при В > 1 оно изменяет свою форму от близкой к нормальному распределению до асимметричной; при В < 1 кривая вероятности близка к гиперболе.

Данное свойство позволяет соответствующим подбором параметров λ ₀ и В обеспечить хорошее совпадение результатов опытных данных с аналитическими выражениями параметров надежности.

Поведение системы на участке приработки хорошо описывается законом распределения Вейбулла с параметром В < 1, а на участке старения В > 1.

Экспоненциальное распределение является частным случаем распределения Вейбулла при В = 1.

5 Распределение Релея. Это распределение получено из закона Вейбулла при m = 2, поэтому оно является однопараметрическим и асимметричным и удобно для описания распределения положительных случайных величин, хотя и обладает значительно меньшей универсальностью, чем предыдущее. Основные зависимости распределения Релея:

, (3.30)

. (3.31)

Значение параметра распределения С полностью определяет данный закон.

6 Гамма-распределение имеет два положительных параметра – l и m. Если m целое число, это распределение иногда называют распределением Эрланга. В этом случае распределение Эрланга можно считать композицией из m независимых случайных величин, имеющих одинаковое экспоненциальное распределение с параметром l. Основные зависимости гамма-распределения:

, (3.32)

где

. (3.33)

Плотность гамма-распределения напоминает по форме кривой плотность распределения Вейбулла. При этом m – параметр формы, а l – параметр масштаба. При m = 1 гамма-распределение превращается в экспоненциальное.

7 Равномерное распределение. При данном распределении все события (отказы) совершаются за отрезок времени от t = T₁ до t = T₂, и вероятность их появления одинакова для любых одинаковых промежутков времени внутри данного отрезка.

Поэтому

, (3.34)

, (3.35)

для .

Равномерное распределение может заменить экспоненциальное при T₁ =0 и значениях P(t) > 0,9 (линеаризация экспоненты).

В заключение следует отметить, что закон нормального распределения наиболее часто встречается в природе, а закон Вейбулла – охватывает практически все явления, т.к. при m = 1 – экспоненциальный закон, при m >1 – близок к нормальному, при m = 2 – распределение Релея.

Основная задача при расчете показателей надежности заключается в том, чтобы получить такое распределение, которое с высокой степенью достоверности отражало бы события и процессы, приводящие к отказам изделия.