Характеристика потоков отказов и восстановлений

Для современных систем автоматизации характерны потоки отказов и восстановлений как последовательная смена состояний объектов во времени. Необходимо отметить, что слово "поток" не означает наличие большого количества отказов. Данный термин применяется при изучении закономерностей появления случайных событий. Современные же технические системы отличаются высокой надежностью и отказы для них крайне редкие события. В то же время изучение природы возникновения отказов, прогнозирование поведения системы при отказах отдельных элементов, определение параметров надежности систем является в настоящее время важной задачей, направленной на повышение эффективности и обеспечение безопасности сложных технических систем.

Под "потоком событий" понимается такая последовательность событий, при котором они происходят одно за другим в случайные моменты времени. Основными потоками событий, изучаемыми в теории надежности, являются потоки отказов и восстановлений. Наибольшее применение получили простейшие потоки и потоки Эрланга.

Простейшим потоком событий называется поток, удовлетворяющий условиям стационарности, ординарности и отсутствия последствий.

Стационарность потоков отказов означает, что вероятность появления определенного числа отказов за определенный промежуток времени не зависит от того, на какой момент данного промежутка приходятся эти отказы, а зависит только от длительности промежутка, т.е. плотность потока появления отказов постоянна во времени. Ординарным считается такой поток, в котором вероятность появления одновременно двух и более отказов за небольшой промежуток времени крайне мала по сравнению с вероятностью возникновения одного отказа. Отсутствие последствий означает, что вероятность возникновения фиксированного числа отказов на определенном интервале времени не зависит от того, сколько отказов возникло ранее. Другими словами отказы являются событиями случайными и независящими друг от друга.

Простейший поток описывается распределением Пуассона с постоянным параметром распределения λ:

. (3.1)

Поток отказов элементов сложных систем достаточно часто являются нестационарными. Нестационарный поток, удовлетворяющий одновременно условиям ординарности и отсутствия последствий называется нестационарным потоком Пуассона. Такие потоки характерны в периоды приработки системы и при работе элементов сложной системы не одновременно.

Нарушение условий стационарности или наличие последствий приводит к тому, что поток перестает быть простейшим. Один из видов непростейшего потока – потоки Эрланга. Потоком Эрланга k-го порядка называется поток, получившийся в результате сохранения каждого k-го события в простейшем потоке. В случае k=1 поток Эрланга превращается в простейший. С увеличением числа k последствия возрастают. При k→∞ поток приближается к регулярному потоку с постоянным интервалом между событиями

. (3.2)

Дифференциальный закон распределения потока Эрланга следующий:

, (3.3)

где λ – интенсивность простейшего потока.

Интенсивность отказов при потоке Эрланга

. (3.4)

Математическое ожидание времени между событиями

. (3.5)