Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Частица в бесконечной прямоугольной яме



Рассмотрим поведение квантовой частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

V (x) = .

Стационарное уравнение Шредингера

- yRR(x) + V (x)y(x)= E y(x)

имеет в качестве решения y(x) = 0 вне ямы. Поэтому нужно решать задачу на интервале

0 < x < l, где

- yRR(x) = E y(x)

с граничными условиями

y(0) = 0, y(l) = 0.

Вводя обозначение

2m E /i2 = k 2

запишем уравнение Шредингера как

yRR(x) + k 2y(x) = 0.

Общее решение уравнения имеет вид

y (x) = A e ikx + B e-i kx .

Если E < 0, то k чисто мнимо, и обозначим его как ig. Тогда

y (x) = A e -g x + B e g x.

Граничные условия дают

A + B = 0, A e -g l + B e g l = 0,

откуда

A sh(g l) = 0.

Отсюда или A =0, и y=0, или g=0, и все равно y=0. Поэтому значения энергии могут быть только положительными.

Пусть это так. Тогда граничные условия дадут

A + B = 0, A e i kl + B e -i kl = 0,

откуда

A sin(kl) = 0.

Так как A ¹ 0, то sin(kl) = 0, откуда kl = p n, где n = ±1, ±2,.... Для энергии

E = i2 k 2 /2m = i2 /2m × (p n / l)2,

т.е. получаем дискретный энергетический спектр

En = p2i2/2m l 2 × n 2.

Волновые функции стационарных состояний теперь запишутся как

y n (x) = A sin knx,

причем вырождения нет, так как числам n и - n отвечают волновые функции, различающиеся только знаком, а значит описывающие одно состояние. Таким образом, спектр не только дискретный и простой. Константу A находим из условия нормировки:

1 = (y n,y n) = d x =

= | A |2 l /2 Þ A = (2/ l) 1/2

и окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

y n (x) = (2/ l) 1/2sinp n / l × x.

Для движения свободной частицы мы имели

f p (x) = 1/(2pi)1/2e i /i px .

Это есть обобщенная волновая функция. Так как квадрат ее модуля есть константа, то частицу с равной вероятностью можно найти в любой точке прямой. Это соответствует инфинитному движению частицы. В нашем случае получилась обычная волновая функция, равная нулю вне интервала (0, l). Это значит, что мы можем найти ее только внутри ямы, что соответствует финитному движению. В этом принципиальная разница между двумя рассмотренными случаями.





Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 185 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...