Частица в бесконечной прямоугольной яме

Рассмотрим поведение квантовой частицы в бесконечной прямоугольной потенциальной яме

V (x) = .

Стационарное уравнение Шредингера

- y^RR(x) + V (x)y(x)= E y(x)

имеет в качестве решения y(x) = 0 вне ямы. Поэтому нужно решать задачу на интервале

0 < x < l, где

- y^RR(x) = E y(x)

с граничными условиями

y(0) = 0, y(l) = 0.

Вводя обозначение

2m E /i² = k ²

запишем уравнение Шредингера как

y^RR(x) + k ²y(x) = 0.

Общее решение уравнения имеет вид

y (x) = A e ^ikx + B e^{-i kx} .

Если E < 0, то k чисто мнимо, и обозначим его как ig. Тогда

y (x) = A e ^{-g x} + B e ^{g x}.

Граничные условия дают

A + B = 0, A e ^{-g l} + B e ^{g l} = 0,

откуда

A sh(g l) = 0.

Отсюда или A =0, и y=0, или g=0, и все равно y=0. Поэтому значения энергии могут быть только положительными.

Пусть это так. Тогда граничные условия дадут

A + B = 0, A e ^{i kl} + B e ^{-i kl} = 0,

откуда

A sin(kl) = 0.

Так как A ¹ 0, то sin(kl) = 0, откуда kl = p n, где n = ±1, ±2,.... Для энергии

E = i² k ² /2m = i² /2m × (p n / l)²,

т.е. получаем дискретный энергетический спектр

E_n = p²i²/2m l ² × n ².

Волновые функции стационарных состояний теперь запишутся как

y _n (x) = A sin k_nx,

причем вырождения нет, так как числам n и - n отвечают волновые функции, различающиеся только знаком, а значит описывающие одно состояние. Таким образом, спектр не только дискретный и простой. Константу A находим из условия нормировки:

1 = (y _n,y _n) = d x =

= | A |² l /2 Þ A = (2/ l) ^1/2

и окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

y _n (x) = (2/ l) ^1/2sinp n / l × x.

Для движения свободной частицы мы имели

f _p (x) = 1/(2pi)^1/2e ^{i /i px} .

Это есть обобщенная волновая функция. Так как квадрат ее модуля есть константа, то частицу с равной вероятностью можно найти в любой точке прямой. Это соответствует инфинитному движению частицы. В нашем случае получилась обычная волновая функция, равная нулю вне интервала (0, l). Это значит, что мы можем найти ее только внутри ямы, что соответствует финитному движению. В этом принципиальная разница между двумя рассмотренными случаями.