Движение квантовой частицы в «аддитивном» поле

Пусть потенциальная энергия имеет вид

V (r) = V ₁(x) + V ₂(y) + V ₃(z) º V ₁(r ₁) + V ₂(r ₂) + V ₃(r ₃) = .

Тогда гамильтониан представляется в виде трех слагаемых

= , = -i² /2m×Ѳ _j + V_j (r_j).

Так как

= , j ¹ k,

то

= при всех j, k = 1,2,3,

а значит

= .

В полный набор можно включить четыре оператора и , но они зависимы. Независимых будет всего три интеграла движения. Выберем в качестве операторов полного набора , и будем параметризовать стационарные состояния их собственными значениями E_j.

Стационарное уравнение Шредингера

y _E (r) = E y _E (r)

решаем методом разделения переменных:

y _E (r) = y₁(r ₁) y₂(r ₂) y₃(r ₃).

Подстановка дает:

y₂ y_{3 1} y₁ + y₁ y_{3 2} y₂ + y₁ y_{2 3} y₃ = E y₁ y₂y₃.

Отсюда, в силу независимости переменных r_j,

_j y _j = E Þ 1/y _{j j} y _j = E_j,

где

= E.

Получаем три отдельных уравнения

_jy_j = E_j y _j Þ -i²/2md²/d r_j y _j (r_j) + V_j (r_j) y _j (r_j) = E_j y _j (r_j).