Свободная квантовая частица

Рассмотрим поведение свободной квантовой частицы в координатном представлении, где

= - i i Ñ, = ,

а гамильтониан имеет вид

= -i²/2m Ѳ,

(m - масса частицы). Гамильтониан не меняется при трансляциях (см. пример), а потому

= 0,

и импульс сохраняется. В полный набор можно включить и - всего четыре оператора. Но степеней свободы три. Дело просто в том, что не все четыре оператора независимы: выражается через .

Возьмем в качестве операторов полного набора . Они имеют общие собственные функции

f _p (r) = e ^{i /i pr}

Каждая из них является собственной и для гамильтониана:

f _p (r)=- i²/2m Ѳ e ^{i /i pr} =- e ^{i /i pr} = p²/ 2m f _p (r)

Таким образом, функции f _p (r) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии

E = p²/ 2m.

Полная собственная функция гамильтониана, т.е. волновая функция стационарного состояния с зависимостью от времени, имеет вид

y(r, t) = e^{- i/ i Et} y(r).

В нашем случае

y _p (r, t) = e^{- i /i p 2}t/^2m ×e ^{i /i pr}.

Можно взять и другой полный набор: и (единичный вектор в направлении импульса). Так как = 1, то у него всего два независимых компонента. Добавляя гамильтониан, получим три оператора, как и должно быть. При таком выборе полного набора полные волновые функции стационарных состояний с учетом | p | = запишутся как

y _{E , n} (r, t) = Ce^{- i/ i Et} .

Константа C находится из условия нормировки, но в данном случае ее проще найти из условия полноты системы волновых функций.

Проведем эту достаточно утомительную выкладку. В абстрактном гильбертовом пространстве условие полноты записывается как

| E, n. t ñ á E, n. t |= .

Перейдем к координатному представлению, умножая это равенство слева на á r, а справа на| r ^Rñ:

òdE á r |E n, t ñ áE n, t | r ^Rñ = á r | r ^Rñ.

Отсюда получаем:

= d(r - r ^R).

Находим и дифференциалы:

d p = p ²d p d n, | n| = 1; p²/ 2m = E, d E =| p |d p /2m, d p =2m/ p d E.

d p = p ²2m/ p ×d E d n = 2m p d E d n = 2m d E d n = (2 m ^3/2 ) E ^1/2d E d n;

d E d n = d p /(2m)^3/2 E ^1/2.

Переходим в интеграле к d p и к p в показателе экспоненты и вспоминаем условие нормировки обычных волн де Бройля:

òd p /(2m)^3/2 E ^1/2×| C |²e^{- i p ( r - r R )/ I} = d(r - r ^R ) = 1/(2pi)³òe^{- i p ( r - r R )/ i}d p Þ

C = 2m³ E)^1/4 /(2pi)^3/2 .

Окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

y _{E , n} (r, t) =