Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Свободная квантовая частица



Рассмотрим поведение свободной квантовой частицы в координатном представлении, где

= - i i Ñ, = ,

а гамильтониан имеет вид

= -i2/2m Ñ2,

(m - масса частицы). Гамильтониан не меняется при трансляциях (см. пример), а потому

= 0,

и импульс сохраняется. В полный набор можно включить и - всего четыре оператора. Но степеней свободы три. Дело просто в том, что не все четыре оператора независимы: выражается через .

Возьмем в качестве операторов полного набора . Они имеют общие собственные функции

f p (r) = e i /i pr

Каждая из них является собственной и для гамильтониана:

f p (r)=- i2/2m Ñ2 e i /i pr =- e i /i pr = p2/ 2m f p (r)

Таким образом, функции f p (r) описывают стационарные состояния частицы со значениями энергии

E = p2/ 2m.

Полная собственная функция гамильтониана, т.е. волновая функция стационарного состояния с зависимостью от времени, имеет вид

y(r, t) = e- i/ i Et y(r).

В нашем случае

y p (r, t) = e- i /i p 2t/2m ×e i /i pr.

Можно взять и другой полный набор: и (единичный вектор в направлении импульса). Так как = 1, то у него всего два независимых компонента. Добавляя гамильтониан, получим три оператора, как и должно быть. При таком выборе полного набора полные волновые функции стационарных состояний с учетом | p | = запишутся как

y E , n (r, t) = Ce- i/ i Et .

Константа C находится из условия нормировки, но в данном случае ее проще найти из условия полноты системы волновых функций.

Проведем эту достаточно утомительную выкладку. В абстрактном гильбертовом пространстве условие полноты записывается как

| E, n. t ñ á E, n. t |= .

Перейдем к координатному представлению, умножая это равенство слева на á r, а справа на| r Rñ:

òdE á r |E n, t ñ áE n, t | r Rñ = á r | r Rñ.

Отсюда получаем:

= d(r - r R).

Находим и дифференциалы:

d p = p 2d p d n, | n| = 1; p2/ 2m = E, d E =| p |d p /2m, d p =2m/ p d E.

d p = p 22m/ p ×d E d n = 2m p d E d n = 2m d E d n = (2 m 3/2 ) E 1/2d E d n;

d E d n = d p /(2m)3/2 E 1/2.

Переходим в интеграле к d p и к p в показателе экспоненты и вспоминаем условие нормировки обычных волн де Бройля:

òd p /(2m)3/2 E 1/2×| C |2e- i p ( r - r R )/ I = d(r - r R ) = 1/(2pi)3òe- i p ( r - r R )/ id p Þ

C = 2m3 E)1/4 /(2pi)3/2 .

Окончательно для нормированных волновых функций стационарных состояний имеем:

y E , n (r, t) =





Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.007 с)...