Алгоритм вычисления обратной матрицы

1. Находим определитель ½ A ½матрицы А.

Если ½ A ½=0, то A - особенная матрица, А ^-1 не существует.

Если ½ A ½¹0, то A - неособенная матрица, А ^-1 существует.

2. Находим матрицу A ', транспонированную к А.

3. Находим алгебраические дополнения A ' _ij элементов транспонированной матрицы A ' и составляем из них присоединенную матрицу , т.е. .

4. Вычисляем обратную матрицу .

5. Проверяем правильность вычисления обратной матрицы А ^-1, исходя из определения A × А ^-1=× А ^-1× A = Е.

Определение 4. Матрица называется присоединенной по отношению к квадратной матрице n -го порядка A, если ее элементами являются алгебраические дополнения A ' _ij элементов матрицы A ', транспонированной к матрице A,

т.е. , где i =1,2,..., n; j =1,2,..., n.

Необходимость. Пусть матрица A имеет А ^-1, т.е. А × А ^-1= А ^-1× A = Е. По свойству 10 определителей имеем ½ А × А ^-1½=½ А ½×½ А ^-1½=½ Е ½=1, Следовательно, ½ А ½¹0 и ½ А ^-1½¹0.

Достаточность. Пусть ½ A ½¹0.

Рассмотрим матрицу . По правилу умножения матриц . По определению присоединенной матрицы и свойству 7 определителей , т.е. В - диагональная матрица, диагональные элементы которой равны ½ А ½.

Аналогично проверяется, что . Итак, в качестве обратной матрицы можно взять матрицу , так как .

Единственность обратной матрицы следует из того, что если некоторая матрица Х удовлетворяет условию обратной матрицы А × Х =× Е, то и .

4. Понятие минора k -го порядка. Ранг матрицы (определение).