Математическое ожидание. Пусть дискретная случайная величина x имеет извест­ный закон распределения: x х1 х2 хп р1 р2

Пусть дискретная случайная величина x имеет извест­ный закон распределения:

x	х 1	х 2	…	хп
	р 1	р 2	…	рп

Определение. Математическое ожидание случайной величины x обозначается . Оно характеризует среднее значение этой величины (ожидаемое значение). Если x принимает конечное число значений, то вычисляется по формуле

. Если множество значений x конечно, то математическое ожидание пред­ставляет собой сумму нескольких чисел, следовательно, всегда существу­ет. Если же множество значений x счетно, то представляет собой сумму числового ряда (бесконечно много слагаемых). Такая сумма мо­жет быть не определена (ряд расходится). В таком случае говорят, что математическое ожидание не существует.

Покажем теперь, почему математическое ожидание является «пред­сказанием» среднего значения случайной величины x, которое она может принимать в результате п измерений. Пусть, действительно, эти п изме­рений сделаны. Их результатами являются числа: Х ₁,Х ₂,...,Х _п. Найдем среднее арифметическое этих чисел:

Если в числителе этой дроби привести подобные слагаемые, то он будет равен x ₁ · a ₁+ x ₂ · a ₂ + …, где x ₁, x ₂ ... — различные значения случай­ной величины, a ₁, а ₂, –... — их абсолютные частоты (то есть количества значений x ₁, x ₂ ..., наблюдавшихся среди данных п результатов изме­рений). Если число измерений п велико (стремится к бесконечности), то все возможные значения X, будут получены на опыте. Перепишем среднее значение в виде

Отношения абсолютных частот a_i к п называются относительными ча­стотами событий вида x = x_i. При большом числе измерений эти отно­сительные частоты должны мало отличаться от вероятностей р_i, иначе закон распределения неправильно подобран для данной случайной ве­личины. Таким образом, при большом количестве измерений величина среднего значения М должна мало отличаться от , если оно суще­ствует.

Приведем далее без доказательства формулы для вычисления мате­матического ожидания случайных величин, имеющих стандартные дис­кретные распределения:

1. геометрический закон: =1/ р,

2. биномиальный закон: = п · р,

3. закон Пуассона: =λ,

4. гипергеометрический закон: = l · (т/п).

В случае, когда закон распределения не является стандартным, мож­но найти математическое ожидание по определению.