Вынужденные механические колебания. Явление резонанса

Рассмотрим систему, на которую, кроме упругой силы (– kx) и сил сопротивления (– r υ), действует добавочная периодическая сила F – вынуждающая сила. Для колебаний вдоль оси x запишем:

– основное уравнение колебательного процесса, или

(3.3.1)

где f_x = F_x / m – вынуждающая сила, изменяющаяся по гармоническому закону:

Через некоторое время после начала действия вынуждающей силы колебания системы будут совершаться с частотой вынуждающей силы ω.

Уравнение установившихся вынужденных колебаний:

(3.3.2)

Наша задача найти амплитуду А и разность фаз φ между смещением вынужденных колебаний и вынуждающей силой.

Обратим внимание на то, что скорость на π/2 опережает смещение, а ускорение на π/2 опережает скорость (см. п. 1.3).

Из (3.3.2) получим:

(3.3.3)

(3.3.4)

36)

Преобразуем и (3.3.2) через косинус:

(3.3.5)

Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой.

Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):

Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:

– амплитуда ускорения; – а мплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы, причем

Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:

.

Рис. 3.3

Из рис. 3.2 видно, что . Найдем амплитуду А:

(3.3.7)

Таким образом, и .

При постоянных F ₀, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω₀.

Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения

(3.3.8)

Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения

.

Проанализируем выражение (3.3.7).

1) (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда

– статическая амплитуда (колебания не совершаются).

2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ) амплитуда растет и при резко возрастает (). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω () амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4).

Рис. 3.4

3) Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю:

4) ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:

, отсюда

где ω_рез – резонансная частота.

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ω_рез называется резонансом.

Для консервативной системы, т.е. из (3.3.9) следует ; для диссипативной ω_рез несколько меньше собственной круговой частоты ω₀ (рис. 3.4).

С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при .