Уравнение Бернулли

(рис 49)

Выделим в стационарно текущей несжимаемой идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями S1 и S2, по которой жидкость течет слева направо (рис. 49). Пусть в месте сечения Sx скорость течения vh давление рх и высота, на которой это сечение расположено, hx. Аналогично, в месте сечения S2 скорость течения v2, давление р2, высота сечения h2. За малый промежуток времени At жидкость перемещается от сечения S{ к сечению S[, от S2 к S'2. Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е2 — Е1 идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы т жидкости:

(30,1)

где ЕхиЕ2 — полные энергии жидкости массой т в местах сечений Si и S2 соответственно.

ветственно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями Si и S2, за рассматриваемый малый промежуток времени At. Для перенесения массы т о т 5Х до S[ жидкость должна переместиться на расстояние /: = = ViAt; и от S2 до S'2 — на расстояние l2 = v2At. Отметим, что 1Х и 12 настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 49, приписывают постоянные значения скорости, давления и высоты. Следовательно, (30,2)

где Fx = pxSi и F2 — -P2S2 (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости; см. рис. 49). Полные энергии Ех и Е2 будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы т жидкости:

(30,3)

(30,4)

(рис. 50)

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и риравнивая (30.1) и (30.2), получим

Согласно уравнению неразрывности ля несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т.е.

Разделив выражение (30.5) на дельта V получем

Так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

- Уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и ля реальных жидкостей, внутреннее рение которых не очень велико.

Величина р в формуле (30.6) называется статическим давлением (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина динамическим давлением. Как уже указывалось выше величина pgh представляет собой гидростатическое давление.

Для горизонтальной трубки тока (h{ —— h2) выражение (30.6) принимает вид

(30.7)

где р + называется полным давлением.

- скорость потока жидкости.

Рассмотрим два сечения (на уровне hx свободной поверхности жидкости в сосуде и на уровне h2 выхода ее из отверстия) и запишем уравнение Бернулли: