Определение вероятности хотя бы одного события

Для многих задач их решением является вероятность появления хотя бы одного из группы событий. Например, гирлянда лампочек не буде гореть, если неработоспособна хотя бы одна из них. Чтобы уехать в нужном направлении с остановки общественного транспорта достаточно, чтобы к остановке подошло хотя бы один из необходимых транспортных средств.

Рассмотрим, как найти такую вероятность.

Пусть даны события А₁, А₂, А₃,…, А_i….А_n. Вероятности их появления в опыте соответственно равны Р(А₁), Р(А₂), Р(А₃),…,Р(А_i)….Р(А_n).

Событие В означает, что произойдет хотя бы одно из событий А_i, т.е. или событие А₁, или событие А₂, или ….., или любая пара, или любая тройка, или…, или все n событий: В = А₁ + А₂ + А₃ +…+ А_i +….+ А_n.

Вероятность события В является вероятностью суммы n совместных событий - Р(В)=Р(А₁ +А₂+ А₃ +…+ А_i+….+ А_n). Найти эту вероятность можно по формуле сложения вероятностей для совместных событий, но, как известно, эта формула громоздка и неудобна для применения.

Упростить решение можно, если пойти другим путём – перейти к поиску вероятности события - противоположного событию В:

Это событие будет заключаться в том, что не произойдёт ни одно из событий А_i, т.е. не произойдёт событие А₁, и не произойдёт событие А₂, и ……. и не произойдёт событие А_n: = _{1 2 3} …. _i… _n.

Вероятность события можно найти по формуле умножения:

Р() = Р( _{1 2 3} …. _i… _n) =. Р( ₁)Р( ₂)Р( ₃) ….Р( _i)…Р( _n) = .

Тогда Р(В)=1 – = 1 - . (11)

В случае, если вероятности всех событий А_i одинаковы:

Р(А₁) = Р(А₂) = Р(А₃) =…= Р(А_i) =….= Р(А_n)= р,

вероятность появления хотя бы одного события Р(В) = 1 – (1 – р)ⁿ (12)

Пример 18

Для схемы рис. 24 определить вероятность отказа системы.

Эта задача была рассмотрена в примере № 16, где отмечалось, что предложенный вариант решения не является рациональным.

Данная схема представляет собой четыре последовательно соединенные элемента (генератор, два трансформатора и линию). Таким образом, система откажет, если откажет хотя бы один элемент и используя формулу (11) получаем простое решение: Q_с = 1 – Р_с = 1 –.(1 - q _г) (1 - q _т1) (1 - q _л)(1 - q _т2) ₌ 1 – р_гр_т1р_лр_т2.

При увеличении числа последовательно соединенных элементов в конечном выражении добавятся дополнительные сомножители по количеству добавленных элементов.

Обобщая вышеизложенную информацию, можно составить алгоритм решения задач по расчёту надежности (рис.27).