![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 3.4 Проекцией вектора на ось
называется число, равное длине вектора
(рис. 3.9), взятое со знаком «плюс», если направление вектора
совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае.
Точки - это точки пересечения оси
с плоскостями, проходящими через точки
и
, перпендикулярно оси
. Обозначение
.
Основные свойства проекции:
1) , где
- угол между вектором
и осью
;
2) ;
3) ;
4) .
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осях
и
единичные векторы, обозначаемые
соответственно (рис. 3.10).
Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называются ортами координатныхосей.
Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения вектора
совместим его начало с началом координат (рис. 3.10). Из конца
вектора
проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим
,
и
точки пересечения этих плоскостей с осями
соответственно. Тогда
,
,
,
.
а значит, существуют числа , такие что
,
,
и
,
,
.
Следовательно, вектор можно представить в виде:
. (3.5)
Формула (3.5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису
. Коэффициенты
линейной комбинации (3.5) называют прямоугольными координатами вектора
, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство (3.5) записывают в виде
(3.6)
Имеет место аналогичное разложение вектора по базису
на плоскости (рис. 3.11).
. (3.7)
Длина вектора с координатами
определяется по формуле
. (3.8)
Для плоского вектора
. (3.9)
Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называют направляющими косинусами вектора. Обозначим
- углы, которые составляет вектор
с осями
соответственно, тогда
,
,
. (3.10)
Справедливо равенство
. (3.11)
При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси.
Пусть даны два вектора и
.
При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число:
, (3.12)
.
Векторы и
равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты:
,
,
. (3.13)
Векторы и
коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.
. (3.14)
Радиус-вектором точки называется вектор
(рис. 3.12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой
.
Координаты точки – это координаты её радиус-вектора .
Для вектора , заданного координатами точки
и
, его координаты определяются из векторного равенства
(3.15)
Здесь и
- радиус-векторы точек
и
, т.е. координаты вектора
равны разностям одноименных координат конечной
и начальной
точек этого вектора.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 1151 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!