![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение 3.1 Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и направление.
Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том, и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых – начало вектора, другая – конец вектора. Для обозначения векторов используются символы ,
,
,
. Если
и
соответственно точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается
(Рис. 3.1). Вектор
с началом в точке
и концом в точке
называет противоположным вектору
.
Длиной или модулем вектора
называется число, равное длине отрезка
, изображающего вектор. Векторы
и
имеют один и тот же модуль.
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Модуль нулевого вектора равен нулю.
Единичным вектором называет вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора
и обозначается
.
Два ненулевых вектора называются равными, если один из них путем параллельного переноса можно совместить с другим так, что совпадут их начала и концы (рис 1.2). Обозначают .
С точки зрения векторной алгебры вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его длины и его направления, то есть точку приложения вектора можно помещать в любую точку пространства. Такие векторы называются свободными.
Линейными операциями над векторами называются операции сложение, вычитание и умножение вектора на число.
Сложение двух векторов и
можно выполнить с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы
и
от общей точки
и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор
, идущий из общего начала
в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой
(рис. 3.3).
Для построения суммарного вектора не обязательно строить весь параллелограмм
, достаточно построить треугольник
. Сформулированное правило определения суммы можно заменить более удобным.
Суммой двух векторов и
называется вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора
с концом второго при условии, что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 3.4).
При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой точке пространства начало первого слагаемого: при её изменении весь треугольник параллельно переносится. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.
Сложение многих векторов ,
,
,
,
совершается последовательно: сначала складывается первый вектор
со вторым
, затем к их сумме прибавляется третий вектор
, затем к полученной сумме
прибавляется вектор
и т.д. (рис. 3.5).
Непосредственно видно, что получается следующее правило для сложения векторов.
Правило многоугольника. Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего (рис. 3.6).
Законы сложения векторов:
1. ,
2. ,
3. .
Разностью двух векторов и
называется вектор
, который при сложении с вектором
даёт вектор
(рис. 3.7).
Заметим, что если на векторах и
, отложенных от общего начала, можно построить параллелограмм, то одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью.
Произведением ненулевого вектора на число
называется вектор
(или
), длина которого равна
, а направление совпадает с направлением вектора
, при
и противоположно ему при
.
Например, если дан вектор
, то векторы
и
имеют вид
и
.
Законы умножения вектора на число:
1. ,
2. ,
3. ,
4. .
Из определения произведения вектора на число следует, что всякий вектор может быть представлен в виде произведения модуля вектора на орт этого вектора.
(3.1)
Если над векторами ,
,
,
выполнять действия сложения, вычитания и умножения на число, то в результате любого числа таких действий получится вектор вида
,
представляющий собой линейную комбинацию исходных векторов.
Векторы ,
,
,
называются линейно зависимыми (связанными линейной зависимостью), если между ними выполняется соотношение следующего вида:
, (3.2)
где скалярные коэффициенты не все равны нулю.
Если все коэффициенты равны нулю, то соотношение (3.2) будет выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между векторами. Про векторы ,
,
,
говорят, что они линейно независимые.
Понятие линейной независимости между векторами используется для алгебраической характеристики взаимного расположения векторов в пространстве.
Определение 3.2 Два ненулевых вектора и
называются коллинеарными (обозначают
), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (как векторы и
) или противоположно направленными (векторы
и
(рис 3.8)).
Теорема 3.1 Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.
Следствие. Если между двумя неколлинеарными векторами выполняется равенство
,
то оба коэффициента должны равняться нулю .
Определение 3.3 Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными.
Теорема 3.2 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.
- коллинеарны
(3.3)
Представление вектора в виде линейной комбинации векторов
и
по (3.3) называется разложением
на плоскости по двум неколлинеарным векторам.
Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов
.
Теорема 3.3 Каждый вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам
, т.е. представляется в виде
(3.4)
Из (3.4) следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы.
Упорядоченная тройка некомпланарных (линейно независимых) векторов называется базисом во множестве геометрических векторов пространства. Скалярные коэффициенты
однозначно определяются и называются координатами вектора
относительно базиса
.
Аналогично: упорядоченная пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов образует базис геометрических векторов на плоскости. Коэффициенты
в разложении (3.4) есть координаты вектора
относительно базиса
.
Дата публикования: 2014-11-29; Прочитано: 731 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!