Сфера в пространстве

Опр. Сферой называют множество точек пространства равноудаленных от заданной точки (центра сферы) на заданное расстояние (радиус сферы).

Пусть центр сферы С (a, b, c), радиус R, т. М (х, у, z)- текущая точка сферы.

По определению │СМ│= R.

- нормальное уравнение сферы.

Если центра сферы О (0, 0, 0), тогда x²+ y²+ z²= R²- каноническое уравнение сферы.

Замечание:

В пространстве различают поверхности двух видов:

1) поверхности первого порядка Ax+ By+ Cz+ D= 0 (уравнение плоскости)

2) поверхности второго порядка Ax²+ By²+ Cz²+ 2Dxy+ 2Fyz+ Kx+ My+ Nz+ L= 0

Примером поверхности второго порядка служит сфера, остальные поверхности второго порядка: цилиндры, конусы, параболы и другие будут рассмотрены в 3 семестре.

Скалярное произведение	Векторное произведение	Смешанное произведение
Опр. а· b= число = │а│·│b│cos φ	a´b= вектор с, что 1° │с│=│a││b│sin φ, где Ðj= a,b 2° вектор c ^ a, c ^b, т.е. с ^ плоскости, в которой лежат вектора а и b. 3° тройка векторов a, b, c – правая	аbc= число = (a´b) · с
Свойства 1° a · b = b · a 2° a · b= 0, т.к. a ┴ b 3° (λa)· b= λ(a· b) 4° a·(b + c)= a· b + a· c 5° а · а= │a│2	1° антикоммунитативность a´b= -b´a 2° (λa)´b= λ (a´b) 3° a´(b + с)= a´b + a´с 4° a ´ а= 0	1° abc= - bac= bca=... 2° (λa)bc= λ(abc) 3° (a+ b) cd= acd+ bcd 4° ijk= (i×j)· k= k· k= │k│2= 1 ijk= 1
Вычисление в координатной форме a × b= ax bx + ay by + az bz
Приложение 1) 2)Ðj- острый, cos j> 0, отсюда следует, что a × b> 0 Ðj- тупой, cos j< 0, отсюда следует, что a × b< 0 Ðj= 90°, cos j= 0, отсюда следует, что a × b= 0 3)	1) Sпар=│a ´ b│ 2) 3) a ║b, отсюда следует, что │ a´b│= 0.	1)Vпарал= │abc│ 2)Vтетр= Vпарал= │abc│ 3)abc>0, то тройка векторов правая, если abc<0, то тройка векторов левая. 4)abc- коллинеарные abc=0