Разложение функций в ряды

Функция вида

series( expr, eqn ) или series( expr, eqn, n )

раскладывает выражение expr в степенной ряд. Здесь eqn - уравнение вида x=a, задающее значение точки, в окрестности которой будет проводиться разложение, или x - имя переменной разложения, n – необязательный параметр – неотрицательное число, задающее степень разложения. Если n не указано, то степень разложения определяется значением переменной среды Order (по умолчанию Order =6).

Если не задана точка а, то разложение производится в окрестности нуля. Если х= infinity, то ищется асимптотическое разложение.

Эта функция может применяться, в частности, к невычисленному интегралу, который таким образом можно свести к вычислению ряда из более простых интегралов.

Возвращаемые функцией series выражения имеют тип series, если оно содержит в том числе и отрицательные степени переменной разложения, или тип taylor, если в разложении содержатся только положительные степени.

В некоторых приложениях может понадобиться представление выражения в виде полинома. Такой полином можно получить. преобразовав разложение в ряд функцией

convert( expr, polinom),

где expr - выражение типа series.

Примеры:

> series( x/(1-x-x^2), x=0 );

> series( x+1/x, x=1, 3 );

> series( x^3/(x^4+4*x-5),x=infinity );

> int(exp( x^3 ), x );

> series (%, x=0 );

> convert( %, polynom);

Функция вида

taylor( expr, eq/nm, n )

раскладывает выражение expr в ряд Тейлора. Остальные параметры аналогичны параметрам предыдущей команды.

Примеры:

> taylor(exp( x ),x=0, 4 );

> taylor( 1/x, x=1, 3 );

Для разложения в ряд Тейлора алгебраического выражения f, зависящего от нескольких переменных, используется функция вида

mtaylor( f, v ) или mtaylor( f, v, n ) или mtaylor( f, v, n, w ).

Здесь v – список имен переменных [x1,...,xn] или выражений вида [x1=a1,...,xn=an], n – необязательный параметр, неотрицательное целое число, определяющее порядок разложения, w – необязательный параметр – список весов переменных. Эта функция входит в основную библиотеку системы, поэтому перед обращением к этой функции её необходимо загрузить командой readlib(mtaylor).

Пример:

> readlib(mtaylor):

> mtaylor(sin( x ) * exp( y ),[x=1,y],2 );

sin(1) + sin(1) y + cos(1) (x - 1)