![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть имеется выборочная совокупность объёма п значений некоторой случайной величины и каждому варианту из этой совокупности поставлена в соответствие его относительная частота (частность). Пусть, далее, х -некоторое действительное число, а п(х) - число выборочных значений случайной величины
, меньших х.
Эмпирической функцией распределения или функцией распределения выборки называется функция , определяющая для каждого
относительную частоту события
. Итак, по определению
.
Пример 3. Найти эмпирическую функцию распределения случайной величины Х по данным таблицы 1 из примера 1 и нарисовать её график.
Решение. Итак, нам известно распределение частот дискретной случайной величины Х – посещаемость занятий по математике студентами первого курса за один месяц.
![]() | |||||||
![]() |
Используя эту таблицу, находим объём выборки:
Определим значение эмпирической функции распределения для диапазона изменения значений вариант от
до
Наименьшая варианта равна 0, значит при
Значения , т.е.
, наблюдалось 7 раз, следовательно,
при
Значения а именно:
наблюдалось
раз, следовательно,
при
Значения а именно:
наблюдалось
раз, следовательно,
при
Значения ,а именно:
наблюдалось
раз, следовательно,
при
Значения а именно:
наблюдалось
раз, следовательно,
при
Аналогично находим при
Так как
- наибольшая варианта, то
при
В результате получаем искомую эмпирическую функцию распределения, значения которой представимы в виде таблицы.
![]() | ![]() |
![]() | |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
![]() | ![]() |
Функцию наряду с табличным способом задания можно задать аналитически, используя формулу, по которой она определяется:
Здесь совпадает с
.
В рассматриваемом примере эмпирическая функция распределения относительных частот, при округлении её значений до двух знаков после запятой, принимает вид:
Построим график функции распределения Для этого отложим по оси ОХ значения вариант, а по оси ОУ – значения функции
Рис.1
Пример 4. Построить эмпирическую функцию распределения и её график для случайной величины
- отклонения напряжения от номинального по распределению.
Решение. В данном случае имеем непрерывную с.в.Х с интервальным вариационным рядом распределения вида:
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() |
Для построения выборочной функции распределения поступаем следующим образом. Из вариационного ряда следует, что для всех функция распределения равна нулю. Пусть теперь
. В этом случае число
не определено, так как не известно, сколько выборочных значений случайной величины Х, принадлежащих этому интервалу, меньше х. Если
то
Следовательно,
Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значения функции
можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала
на котором
Поэтому на практике достаточно найти значения статистической функции распределения
в граничных точках интервалов статистического ряда. Далее, расчеты производим аналогично дискретному случаю. Используя определение функции распределения выборки, имеем:
Полученные данные для запишем в виде следующей таблицы:
![]() | |||||||||
![]() | 0,060 | 0,160 | 0,353 | 0,586 | 0,799 | 0,926 | 0,979 |
На основании этой таблицы строим точечную диаграмму с координатами Так как таблица определяет функцию
не полностью (не для всех х известны её значения), то при графическом изображении её доопределяем, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (рис.2). В результате график функции
будет представлять собой непрерывную линию (рис.2).
Рис.2
Пример 5. В результате испытаний случайная величина Х приняла следующие значения: 2, 4, 5, 7, 1, 10, 4, 5, 9, 6, 8, 6, 2, 3, 4, 7, 6, 8, 3, 8, 10, 6, 4, 7, 3, 9, 4, 5, 6, 4. Составить вариационный ряд и построить полигон распределения относительных частот.
Решение. Анализируя статистические данные, устанавливаем, что в выборке объёма имеется десять вариант:
Их частоты
соответственно.
Вычисляем относительные частоты по формуле
Контроль:
Напишем распределение относительных частот:
![]() | ||||||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Эту таблицу можно записать в виде:
![]() | ||||||||||
![]() | 0,03 | 0,07 | 0,10 | 0,20 | 0,10 | 0,16 | 0,10 | 0,10 | 0,07 | 0,07 |
Округление значений относительных частот следует производить таким образом, чтобы выполнялось равенство
Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладываем варианты
, а на оси ординат соответствующие им относительные частоты
согласно табл. 10. Полученные точки
соединяем отрезками прямых. Образовавшаяся ломаная (рис.3) является полигоном распределения относительных частот.
Рис.3
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 2563 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!