![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Определение линейного пространства
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила:
1) любым двум элементам соответствует третий элемент
называемый суммой элементов
(внутренняя операция);
2) каждому и каждому
отвечает определенный элемент
(внешняя операция).
Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы:
I.
II.
III. (нулевой элемент, такой, что
).
IV. (элемент, противоположный элементу
), такой, что
V.
VI.
VII.
VIII.
Аналогично определяется комплексное линейное пространство (вместо R рассматривается C).
Подпространство линейного пространства
Множество называется подпространством линейного пространства V, если:
1)
2)
№23
Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы.
Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e 1,..., e n
образует базис в L если любой вектор x из L может быть представлен в виде
x = С1· e 1+С2 ·e 2+...+С n · e n.
Можно определить базис иначе.
Любая упорядоченная линейно независимая система e 1,..., e n векторов n- мерного линейного пространства Ln образует базис этого пространства.
Поскольку n, размерность пространства Ln — максимальное количество линейно независимых векторов пространства, то система векторов x, e 1,..., e n линейно зависима и, следовательно, вектор x линейно выражается через векторы e 1,..., e n:
x = x 1· e 1+ x 2 ·e 2+...+ xn · e n.
Такое разложение вектора по базису единственно.
Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства.
Доказательство. Пусть произвольная линейно независимая система векторов,
- произвольная порождающая система. Допустим, что
.
Мы можем считать, что все векторы порождающей системы ненулевые, т.к. нулевые векторы можно удалить из системы и оставшаяся система векторов, очевидно, остается порождающей.
Т.к. порождающая система, то она представляет любой вектор пространства, в том числе и вектор
. Присоединим его к этой системе. Получаем линейно зависимую и порождающую систему векторов:
. Тогда найдется вектор
этой системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы и его, в силу леммы, можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов будет по-прежнему порождающей.
Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Т.к. эта система порождающая, то она представляет вектор
и, присоединяя его к этой системе, опять получаем линейно зависимую и порождающую систему:
.
Далее все повторяется. Найдется вектор в этой системе, который линейно выражается через предыдущие, причем это не может быть вектор , т.к. исходная система
линейно независимая и вектор
не выражается линейно через вектор
. Значит, это может быть только один из векторов
. Удаляя его из системы
, получаем, после перенумерования, систему
, которая будет порождающей системой. Продолжая этот процесс, через
шагов получим порождающую систему векторов:
, где
, т.к. по нашему предположению
. Значит, эта система, как порождающая, представляет и вектор
, что противоречит условию линейной независимости системы
.
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. (О количестве векторов в базисе.) В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов.
Доказательство. Пусть и
– два произвольных базиса векторного пространства. Любой базис является линейно независимой и порождающей системой векторов.
Т.к. первая система линейно независимая, а вторая – порождающая, то, по теореме 1, .
Аналогично, вторая система линейно независимая, а первая – порождающая, то . Отсюда следует, что
, ч.т.д.
Теорема 2 доказана.
Данная теорема позволяет ввести следующее определение.
Определение. Размерностью векторного пространства V над полем K называется число векторов в его базисе.
Обозначение: или
.
№24
Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.
где — координаты вектора.
Свойства
· Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты
· Координаты коллинеарных векторов пропорциональны:
Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю.
· Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат:
· При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число:
· При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются:
· Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат:
· Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы
где
· Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель
Ма́трицей перехо́да от базиса к базису
является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов
в базисе
.
Обозначается
Представление
Так как
.
.
.
.
Матрица перехода это
Свойства
· Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
·
№25
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 378 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!