Раздел V элементы многомерного математического анализа

Вопросы для подготовки к тестированию:

1. Что называется n- мерным евклидовым пространством и каковы его типы?

2. Что называется функцией нескольких переменных?

3. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?

4. Что называется пределом функции двух переменных в точке?

5. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных производных функции нескольких переменных.

6. Когда функция называется дифференцируемой в данной точке? Что называется полным дифференциалом этой функции в данной точке?

7. Напишите формулы для нахождения сложной функции , где .

8. Запишите формулы дифференцирования неявной функции и .

9. Сформулируйте определение частных производных высших порядков.

10. Что называется градиентом функции ?

11. Что называется касательной плоскость к поверхности в данной точке М?

12. Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке для поверхности S, задаваемой равенством .

13. Запишите уравнение касательной плоскости, проведенной в точке для поверхности S, задаваемой уравнением .

14. Что называется нормалью к поверхности?

15. Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности в точке .

16. Запишите каноническое уравнение нормали к поверхности в точке .

17. Запишите формулы дл вычисления производной по направлению, определяемому вектором .

18. Сформулируйте необходимое и достаточное условия экстремума функции двух переменных.

19. Что называется условным экстремумом функции ? Сформулируйте необходимое и достаточное условия условного экстремума функции двух переменных.

20. Опишите процедуру исследования функции на условный экстремум.

21. Опишите процедуру нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

22. В чем состоит метод наименьших квадратов при нахождении функции на основании экспериментальных данных?

Задачи для подготовки к тестированию:

1. Найти частные производные функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) ; б) ; в) .

2. Найти полный дифференциал функций:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б) .

3. Найти частные производные второго порядка следующих функций:

а) ; б) .

Ответ: а) ; б) .

4. Найти частные производные неявных функций:

а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ; б) ;

5. Найти градиент функции:

а) ; б) .

Ответ: а) ; .

6. Вычислить градиент функции в точке М:

а)

Ответ: (1, 0).

7. Найти точки экстремума функции:

Ответ: а) (0, 0) – точка минимума, - точка максимума.