Решение логических задач средствами алгебры логики. Задача «Уроки логики». На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен ответ: «Если изучал первый

Задача «Уроки логики». На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен ответ: «Если изучал первый, то изучал и вто­рой, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй». Кто из учащихся изучал логику?

Решение. Введём обозначения:

· Р₁ – первый учащийся изучал логику;

· Р₂ – второй учащийся изучал логику;

· Р₃ – третий учащийся изучал логику.

Из условия задачи следует истинность высказывания . Воспользуемся соотношением (20) и упростим исходное высказывание:

.

Высказывание (согласно (11)), а, следовательно, ложно и высказывание . Поэтому должно быть истинным высказывание .

Ответ. Логику изучал третий учащийся, а первый и второй не изучали.

Задача «Прогноз». Трое друзей, болельщиков автогонок "Формула-1", спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

— Вот увидишь, Шумахер не придет первым, — сказал Джон. Первым будет Хилл.

— Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, — воскликнул Ник. — А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

— Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение. Введем обозначения для логических высказываний:

Ш — победит Шумахер; Х — победит Хилл; А — победит Алези.

Реплика Ника "Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

Джон: , Ник: , Питер: .

Учитывая то, что предположения лишь двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем все возможные комбинации истинности двух из трёх высказываний. Тогда истинное высказывание будет иметь вид:

=1.

Упростим это выражение. Используя (11), установим, что первые два слагаемые тождественно-ложные. Тогда, с учётом формул де Моргана для третьего слагаемого:

Произведение будет истинным только при Ш=1, А=0, Х=0.

Ответ. Победителем этапа гонок стал Шумахер.