Построение логических функций на основе математических выражений

Логические функции часто формируют на основе математических выражений. Математическое выражение, как известно, содержит переменные, константы и функции, соединённые знаками математических операций. Но для создания логической функции обязательно использование операций отношения: <, >, ≤, ≥, =, ≠. Результат любой из этих операций является «истина» или «ложь», которые мы условились обозначать 1 или 0. Таким образом, каждая операция отношения создаёт одно простое высказывание.

Например, выражение X >Y принимает значение 0 или 1 в зависимости от конкретных значений X и Y. Таким образом, можно сформировать логическую функцию f от действительных переменных X и Y, которая будет истинной, если выполняется указанное выше условие. Записывается это так:

f(X, Y) = X > Y.

Другой пример. Сформировать логическую функцию, которая будет истинной, если переменные x и y кратны трём; x, y – переменные целого типа.

Решение. Заметим, что целое число а будет кратно целому числу b, если остаток от целочисленного деления а на b будет равен нулю:

a mod b = 0.

Здесь запись mod означает операцию вычисления остатка при целочисленном делении а на b.

В условии задачи легко выделить два простых высказывания: x кратно трём и y кратно трём. Между этими высказываниями стоит союз «и». Следовательно, это сложное высказывание содержит операцию логического умножения, а математически это высказывание можно записать так:

f(x, y) = (x mod 3 = 0)∙(y mod 3 = 0).

Рассмотрим ещё один пример. Сформировать логическую функцию, которая будет истинной, если сумма a и b – положительна, а величины a или b - отрицательны. a и b – переменные действительного типа.

Решение. В этом примере также можно выделить несколько простых высказываний:

· сумма a и b – положительна;

· величина a - отрицательна;

· величина b - отрицательна.

Первое высказывание с двумя другими связывается союзом «а», что означает между ними операцию логического умножения. Далее, второе и третье простые высказывания соединены союзом «или», что означает между ними операцию логического сложения. Таким образом, мы получаем следующую функцию:

f(a, b) = ((a + b) > 0) ∙ ((a < 0) + (b < 0)).

Скобки в этом выражении изменяют порядок выполнения операций. Это необходимо, так как операции отношения имеют самый низкий приоритет.

Ещё один класс операций отношения связан с координатной плоскостью. Приведём простой пример: сформировать логическую функцию, которая будет истинной, если точка принадлежит заштрихованной области (смотри рис. 1).

Решение. Согласно рисунку, точка должна быть внутри окружности радиуса 1 с одной стороны, а с другой – быть в верхней полуплоскости. Уравнение окружности радиуса 1 имеет вид:

Рис. 1

X² + Y² = 1,

где X и Y – координаты точки, принадлежащей окружности. Точка будет внутри этой окружности, если её координаты удовлетворяют условию:

X² + Y² ≤ 1.

Чтобы точка была в верхней полуплоскости необходимо выполнение условия Y ≥ 0. Оба эти условия должны выполняться одновременно, что возможно только для операции логического умножения. Таким образом, искомая функция имеет вид:

f (X, Y) = (X² + Y² ≤ 1) ∙ (Y ≥ 0).