б) Смягченное расширение понятий может превратить математическую истину в логическую 3 страница

[59] «Спаивание» двух многогранников при помощи скрытых ре­бер было выставлено в качество аргументации Жонкьером (1890, стр. 171—172), который устранение монстров применяет против по­лостей и туннелей, а исправление — против увенчанных кубов и звездчатых многогранников. Первым протагонистом использования исправления монстров в защите теоремы Эйлера был Маттисен (1863). Он последовательно использует исправление монстров; при помощи введения скрытых ребер и граней ему удается «выяснить» всякую неэйлеровость, включая многогранники с туннелями и по­лостями. В то время как у Жонкьера спаивание представляет пол­ную триангуляцию кольцеобразной грани, Маттисен спаивает с эко­номией, проводя лишь минимальное число ребер, превращающих грань в односвязные подграни (рис. 14). Маттисен удивительно уверен в своем методе превращения революционных контрапримеров в хорошо исправленные буржуазные эйлеровы образцы. Он считает, что «всякий многогранник может быть так проанализи­рован, что будет подтверждать теорему Эйлера...». Он перечисляет предполагаемые исключения, отмеченные поверхностным наблюда­телем, и затем утверждает: «В каждом таком случае мы можем по­казать, что многогранник имеет скрытые грани и ребра; если пере­считать их, то они делают теорему V — Е + F = 2 справедливой даже для этих видимых исключительных случаев».

Мысль, что при помощи проведения дополнительных ребер, или граней, некоторые неэйлеровы многогранники могут быть преобра­зованы в эйлеровы, происходит, однако, не от Маттисена, но от Гесселя. Последний иллюстрировал это тремя примерами, исполь­зуя изящные фигуры (1832, стр. 14—15). Но он использовал этот метод не для «исправления», но, наоборот, для «разъяснения исклю­чений», показывая «совершенно аналогичные многогранники, для которых эйлеров закон справедлив».

[60] Эта последняя лемма слишком строга. Для целей доказатель­ства достаточно будет заменить ее такой леммой, что «для полу­чающейся после растягивания и триангулирования плоской тре­угольной сети V — Е + F = 1». Коши, по-видимому, не заметил эту разницу.

[61] В действительности такое доказательство было впервые пред­ложено Рейхардом (Н. Reichardt, 1941, стр. 23), а также Ван дер Варденом (1941). Гильберт и Кон-Фоссен были удовлетворены лишь тем, что истинность утверждения Беты «легко увидеть» (1932, стр. 292 английского перевода).

[62] Polya (1945, стр. 142).

[63] Эта последняя фраза взята из интересной работы Алисы Амброз (Alice Ambrose, 1959, стр. 438).

[64] См. примечание 17. Метафора «застегивания мол­нии» изобретена Брайтвайтом (R. В. Braithwaite); однако он говорит только о «логических» и «теоретико-познавательных» застегивателях молний, но не об «эвристических» (1953, особенно стр. 352).

[65] Устранение монстров в защиту теоремы является очень важ­ным приемом в неформальной математике. «В чем грешат приме­ры, для которых неверна формула Эйлера? Какие геометрические условия, уточняющие значения F, V и Е, могут обеспечить спра­ведливость формулы Эйлера?» [Polya (1954), I, упр. 29]. Цилиндр дается в упражнении 24. Ответ таков: «...ребро...должно заканчи­ваться в углах» (стр. 225)... Полья формирует это вообще: «До­вольно часто встречающееся в математических исследованиях по­ложение заключается в следующем: теорема уже сформулирована, но нам требуется дать более точное определение смысла терминов, употребленных при формулировке, чтобы сделать ее строго дока­занной» (стр. 55).

[66] Локальные, но не глобальные контрапримеры были разоб­раны в гл.3.

[67] Это соответствует парадоксу подтверждения [Гемпель (Hempel, 1945)].

[68] См. подстрочное примечание 61.

[69] См. реплику Альфы

[70] Истинные утверждения, не имеющие содержания (vacuous­ly true), о которых говорит Гамма, представляют большое ново­введение XIX в. Задний план этой проблемы еще не раскрыт.

[71] «Евклид употребляет аксиому, совершенно не сознавая ее» (Russell, 1903, стр. 407). «Сделать (sic!) скрытое допущение» явля­ется общей фразой у математиков и ученых. См. также обсуждение Гамовым доказательства Коши (1953, стр. 56) или Ивс-Ньюса (Eves-Newsom) об Евклиде (1958, стр. 84),

[72] См. реплику Альфы

[73] Хорошие учебники неформальной математики обычно уточ­няют свою «стенографию», т. е. те ложные или истинные леммы, которые они считают настолько тривиальными, что не заслужива­ют упоминания. Стандартное выражение для этого таково: «Мы предполагаем знакомство с леммами типа х». Количество того, что предполагается известным, уменьшается по мере того, как кри­тика знание предполагаемое превращает в знание настоящее. Коши, например, даже не заметил, что его прославленное сочине­ние (1821) предполагало «знакомство» с теорией действи­тельных чисел. Он отбросил бы как монстр всякий контрапример, который потребовал бы явного установления лемм о при­роде иррациональных чисел. Не так поступили Вейерштрасс и его школа: учебники по неформальной математике теперь содержат новую главу по теории действительных чисел, в которой собраны все эти леммы. Но в их «введениях» обычно принимается «знаком­ство с теорией рациональных чисел». См., например, Hardy «Pure Mathematics», начиная со второго издания (1914) и далее; в первом издании все еще считалось, что теория действи­тельных чисел относится к предполагаемому у читателей знанию; или Rudin (1953). Более строгие учебники еще более уменьшают предполагаемое знание: Landau во введении к своей знаменитой книге (1930) предполагает знакомство только с «логическим рассуждением и немецким языком». Иронией судь­бы Тарский в это же самое время показал, что опускаемые таким образом абсолютно тривиальные леммы могут быть не только не­верными, но и несовместимыми, поскольку немецкий является се­мантически замкнутым языком. Кто может сказать, когда заявле­ние «автор признает свое невежество в области x» заменит авторитетный эвфемизм «автор предполагает знакомство с областью x»? Наверное тогда, когда будет установлено, что знание не имеет основ.

[74] Когда это было впервые открыто, такая скрытая лемма рас­сматривалась как ошибка. Когда Беккер первый указал на «скры­тое» (stillscliweigend) предположение в доказательстве Коши (он цитировал доказательство из вторых рук через Балцера, 1826—1827), то он назвал его «ошибкой» (1869, стр. 67—68). Он обратил внима­ние на то, что Коши все многогранники рассматривал как простые; его лемма была не только скрытой, но и ложной. Однако историки не могут представить себе, чтобы большие математики делали та­кие ошибки. Настоящую программу, как нужно фальсифицировать историю, можно найти у Пуанкаре (1908): «Доказательство, не яв­ляющееся строгим, есть ничто. Я думаю, что никто не станет оспа­ривать эту истину. Но если принимать ее слишком буквально, то мы должны прийти к заключению, что, например, до 1820 г. не су­ществовало математики; это, очевидно, было бы чрезмерным: гео­метры того времени быстро понимали то, что мы теперь объясняем пространно и долго. Это не значит, что они этого совершенно не замечали, но они слишком скоро проходили через это. А заметить это как следует сделало бы необходимым потрудиться сказать это» (стр. 374). Замечание Беккера об «ошибке» Коши должно быть переписано на манер 1984 г.: «double plus ungood refs unerrors rew­rite fullwise» («Язык 1984 года», изобретенный английским писа­телем Орвеллом, не создает новых слов, но отбрасывает лишние. Зачем писать «и», если существует термин «плюс», или «плохой», если можно сказать «нехороший»? В переводе на русский язык фраза звучала бы так: «двоякие плюс нехорошие опровержения неошибок переписывать полностью».— Прим. пер.). Это переписыва­ние было сделано Штейпицем, который настаивал на том, что «тот факт, что эта теорема не могла быть верной в общем случае, веро­ятно, не мог оставаться незамеченным» (1914—1931, стр. 20). Пуан­каре сам применил свою программу к эйлеровой теореме: «Извест­но, что Эйлер доказал равенство V — Е + F = 2 для выпуклых многогранников» (1893). Эйлер, конечно, высказал свою теорему для всех многогранников.

[75] См. реплику Альфы.

[76] Наш класс был скорее передовым. Альфа, Бета и Гамма вы­разили подозрение против трех лемм, когда еще не появились гло­бальные контрапримеры. В действительной истории анализ дока­зательства появился позже через много декад: в течение долгого периода контрапримеры или замалчивались, или заклинались как чудовища, пли записывались как исключения. Эвристическое дви­жение от глобального контрапримера к анализу доказательства — применение принципа обратной передачи ложности — было по существу неизвестно в неформальной математике раннего XIX сто­летия.

[77] Фордер (Н. G. Forder, 1927, стр. VIII). Или «Одной из глав­ных заслуг доказательств является то, что они внушают некото­рый скептицизм по отношению к доказанному результату» (Rus­sell, 1903, стр. 360. Он дает также великолепный пример).

[78] Хорошо известно, что критика может вызвать подозрение или даже иногда опровергнуть «априорные истины» и, таким об­разом, превратить доказательства в простые объясне­ния. Такое отсутствие критицизма или опровер­жения может превратить не вполне допустимые догадки в «априорные истины»: это не так хорошо известно, но как раз также очень важно. Два самых ярких примера этого представляют возвышение и падение Евклида и Ньютона. История их падения хорошо известна, но историю их возвышения обычно не вполне понимают.

Геометрия Евклида, по-видимому, была предложена как космологическая теория (см. Popper, 1952, стр. 147—148). И ее «по­стулаты» и «аксиомы» (или «общие понятия») были предложены как смелые, вызывающие предложения, направленные против Парменида и Зенона, учения которых влекли за собой не только лож­ность, но даже логическую ложность, непредставимость этих «по­стулатов». Только позже «постулаты» были приняты как несомнен­но истинные, и смелые антипарменидовские «аксиомы» (вроде «целое больше части») были сочтены настолько тривиальными, что были опущены в позднейших анализах доказательства и превра­щены в «скрытые леммы». Этот процесс начался с Аристотеля; он заклеймил Зенона как любящего спорить чудака, и его аргументы как «софистику». Эта история была недавно рассказана с инте­ресными подробностями Арпадом Сабо (1960, стр. 65—84). Сa6o по­казал, что в эпоху Евклида слово «аксиома», как и «постулат», обозначало предположение в критическом диалоге (диалектиче­ском), выставленное для того, чтобы проверить следствия, причем партнер по дискуссии не обязан был принимать его как истину. По иронии истории его значение оказалось перевернутым. Вершина авторитета Евклида была достигнута в век просвещения. Клеро побуждал своих товарищей не «затемнять доказательств и раз­дражать читателей», выставляя очевидные истины: Евклид делал это лишь для того, чтобы убедить «упорствующих софистов» (1741, стр. X и XI).

Далее механика и теория тяготения Ньютона были выставлены как смелая догадка, которая была осмеяна и названа «темной» Лейбницем и была подозрительной даже для са­мого Ньютона. Но через несколько декад — при отсутствии опро­вержений — его аксиомы дошли до того, что были признаны не­сомненно истинными. Подозрения были забыты, критики полу­чили клеймо «эксцентрических», если не «обскурантов»; некоторые из его наиболее сомнительных допущений стали рассматриваться настолько тривиальными, что учебники даже никогда не упоми­нали их. Дебаты — от Канта до Пуанкаре — шли уже не об истин­ности ньютоновской теории, но о природе ее достоверности. (Этот поворотный пункт в оценке ньютоновской теории был впервые указан Карлом Поппером — см. его книгу, 1963, passim.)

Аналогия между политическими идеологиями и научными теориями идет гораздо дальше, чем обычно полагают: положитель­ные теории, которые первоначально могли дебатироваться (и, мо­жет быть, принимаемы только под давлением), могут превращать­ся в бесспорные основы знания даже за время одного поколения: критики бывали забыты (и, может быть, даже казнены) до тех пор, пока революция не выдвигала снова их возражений.

[79] Это правило, по-видимому, впервые было выдвинуто Зейделем (Ph. L. Seidel, 1847, стр. 383).

[80] «Я имею право выдвинуть пример, удовлетворяющий усло­виям вашей аргументации, и я сильно подозреваю, что те приме­ры, которые вы называете странными и искусственными, в дей­ствительности будут затрудняющими вас примерами, предосуди­тельными для вашей теоремы» (Дарбу, 1874).

[81] «Я приведен в ужас множеством неявных лемм. Придется затратить много труда, чтобы избавиться от них» (Дарбу, 1883).

[82] См. параграф 4,б и реплику Учителя.

[83] Пуанкаре (1905, стр. 216).

[84] Там же, стр. 216. Изменения Критерия «строгости доказа­тельства» производят в математике большие революции. Пифаго­рейцы считали, что строгие доказательства могут быть только арифметическими. Однако они открыли строгое доказательство, что Ö2 был «иррациональным». Когда этот скандал вышел нару­жу, то критерий был изменен: арифметическая интуиция была дискредитирована и ее место заняла геометрическая интуиция. Это означало большую и сложную реорганизацию математичес­кого знания (была введена теория пропорций). В восемнадцатом столетии «вводящие в заблуждение» чертежи испортили репута­цию геометрических доказательств и девятнадцатый век увидел снова арифметическую интуицию, воцарившуюся при помощи сложной теории действительных чисел. Сегодня основные споры идут о том, что является или не является строгим в теоретико-множественных и математических доказательствах, как это вид­но из хорошо известной дискуссии о допустимости мысленных экспериментов Цермело и Гентцена.

[85] Как уже было указано, наш класс является очень пере­довым.

[86] Термин «психологизм» был создан Гуссерлем (1900). Ран­нюю «критику» психологизма см. у Фреге (Frege, 1893, стр. XV— XVI). Современные интуиционисты (не как Альфа) открыто при­нимают психологизм: «Математическая теорема выражает чисто эмпирический факт, а именно успех некоторого построения... ма­тематика есть изучение некоторых функций человеческого мозга» (Гейтинг (Heyting, 1956, стр. 8 и 10)]. Как они примиряют психо­логизм с достоверностью, представляет их хорошо охраняемый секрет.

[87] Что мы не смогли бы как следует выразить словами совер­шенное знание, даже если бы обладали им, было общим местом у древних скептиков [см. Секст Эмпирик (ок. 190), I, 83—87], но было забыто в век просвещения. Это было снова открыто интуиционистами: они приняли кантову философию математики, но указали, что «между совершенством собственно математики и со­вершенством математического языка нельзя видеть ясной связи» [Броувер (Brouwer), 1952, стр. 140]. «Выражение при помощи ска­занного или написанного слова — хотя и необходимо для сообще­ния — никогда не бывает адекватным. Задача науки заключается не в изучении языков, но в создании идей» (Heyting, 1939, стр. 74-75).

[88] Brouwer (1952), стр. 141.

[89] Английский язык имеет термин «infinite regress», но это будет только частным случаем порочной бесконечности (schlechte Unendlichkeit) и не будет здесь применимым. Альфа, оче­видно, построил фразу, имея в мыслях «порочный круг».

[90] Обычно, взяв альтернативную систему длинных определе­ний, математики избегают длинных теорем, так что в теоремах появляются только определенные термины, например, «ординар­ный многогранник»; это будет более экономичным, так как одно определение сокращает много теорем. Даже и так определения занимают огромное место в «строгих» изложениях, хотя приводящие к ним монстры редко упоминаются. Определение «эйлерова многогранника» (с определениями некоторых определяющих терминов) занимает у Фордера (1927, стр. 67 и 29) около 25 строк; определение «ординарного многогранника» в издании 1962 г. «Encyclopedia Britannica» заполняет 45 строк.

[91] «Логика заставляет нас отбросить некоторые аргументы, но она не может заставить нас верить любому аргументу» (Лебег, 1928, стр. 328).

* Quod erat demonstrandum (лат.) — что требовалось доказать; Quod erat demonstratum (лат.) — что было доказано.— Прим. пер.

[92] Мур (Е. Н. Moore), 1902, стр. 411.

[93] «Природа уличает скептиков, рассудок уличает догматиков» [Паскаль, 1654. См. Oeuvres completes (Chevalier). Paris, 1954, стр. 1206—1207]. Немногие математики признаются, как Бета, что ра­зум слишком слаб для оправдания самого себя. Большая часть их принимает некоторое клеймо догматизма, историзма или спутанного прагматизма и остается курьезно слепой к невозможности поддер­живать это, например: «Математическое рассуждение проводится с такой скрупулезностью, которая делает его бесспорным и убедительным для каждого, кто только его поймет....Однако строгость математики не абсолютна: она развивается; принципы математики не застыли раз навсегда, а движутся и тоже могут служить и служат предметом научных споров» (А. Д. Александров, 1956, стр. 7). Эта цитата может напомнить нам, что диалектик пытается учитывать изменение, не пользуясь критицизмом; для него истины находятся «в непрерывном развитии», но всегда «полностью бесспорны».

* См. сноску 73.- Прим. пер.

[94] См. реплику Учителя.

[95] Обсуждение этого случая см. в гл.3.

[96] Омега, по-видимому, забывает третью возможность: Гамма может о успехом требовать, что поскольку локальные, но не гло­бальные, контрапримеры не обнаруживают какого-нибудь наруше­ния принципа обратной передачи ложности, то нет надобности в каких-нибудь действиях.

[97] См. параграф 5, г.

[98] Обсуждение этого второго случая см. после реплики Беты.

[99] См. там же.

[100] См. главу 3.

[101] См. там же.

[102] Доказательство Жергонна можно найти у Люилье (1812— 1813, стр. 177—179). В оригинале оно, конечно, не заключало ни­каких фотографических устройств. Оно гласило: «Возьмите мно­гогранник с одной прозрачной гранью; представьте себе, что снаружи к этой грани приближается глаз настолько плотно, что может увидеть внутренние стороны всех других граней...» Жергонн скромно отмечает, что доказательство Коши является более глубоким, поскольку «оно имеет ценное преимущество, что совер­шенно не предполагает выпуклости» (однако ему не пришло в голову спросить, что же именно оно предполагает). Штейнер позднее снова открыл по существу то же самое доказательство (1826). Его внимание обратили на приоритет Жергонна; тогда он прочел работу Люилье со списком исключений, но это не поме­шало ему закончить свое доказательство такой «теоремой»: «Все многогранники являются эйлеровыми». Именно эта работа Штейнера заставила Гесселя — немецкого Люилье — написать свою работу (1832).

[103] Доказательство Лежандра можно найти в его работе (1794), но там нет теоремы, порожденной доказательст­вом, так как анализ доказательства и образование теорем были в XVIII в. по существу неизвестны. Лежандр сначала определяет многогранники как твердые тела, поверхность которых состоит из многоугольных граней (стр. 161). Затем он доказывает, что V—E+F=2 вообще (стр. 228). Но здесь имеется устраняющая исключения поправка в примечании курсивом на стр. 164, глася­щая, что будут рассматриваться только выпуклые многогран­ники. Он игнорировал почти выпуклое обрамление. Пуансо пер­вый, комментируя доказательство Лежандра, заметил в своей работе (1809), что формула Эйлера справедлива не только для обыкно­венных выпуклых тел, а именно, поверхность которых пересекается прямой линией не более чем в двух точках; она справедлива так­же для многогранников с входящими углами в предположении, что внутри тела можно найти точку, служащую центром сферы, на которую прямыми линиями, идущими из центра, можно спроек­тировать грани многогранника так, чтобы их проекции не пере­крывали друг друга. Это применимо к бесконечному множеству многогранников с входящими углами. Действительно, при этом положении доказательство Лежандра применимо ко всем таким добавочным многогранникам.

[104] Жонкьер продолжает, снова заимствуя аргумент у Пу­ансо (1858): «Призывая Лежандра и подобные высокие авторите­ты, только способствуешь широко распространенному предубеж­дению, которое пленило даже некоторые из наилучших интеллек­тов, а именно, что область применимости теоремы Эйлера ограни­чена только выпуклыми многогранниками» (1890а, стр. 111).

[105] Это из Пуансо (1858, стр. 70).

[106] Зоммервилъ (D. М. У. Sommerville), 1929, стр. 143—144.

[107] Этот «большой звездчатый додекаэдр» уже был придуман Кеплером (1619, стр. 58), затем независимо от него Пуансо (1809), который испытывал его на эйлеровость. Рисунок 15 скопирован с книги Кеплера.

[108] Я не был в состоянии определить, откуда взята эта цитата. (Это — шутливое подражание Галилею.— Прим. пер.)

[109] См. примечание 111.

[110] Ответ заключается в знаменитой папповой эвристике ан­тичности, которая применялась только к нахождению «финаль­ных», «окончательных» истин, т. е. к теоремам, которые содержа­ли сразу и необходимые и достаточные условия. Для «задач на доказательство» основное правило эвристики было: «Если у вас есть догадка, то выведите из нее следствия. Если вы придете к следствию, о котором известно, что оно ложно, то догадка была ложной. Если вы придете к следствию, о котором известно, что оно истинно, то обратите порядок доказательств и, если догадка может быть таким образом выведена из истинных следствий, то она была истинной» (ср. Heath, 1925, 1, стр. 138—139). Принцип «causa aequat effectu» (причина равна следствию.— Прим. пер.) и поиски теорем с необходимыми и достаточными условиями зак­лючались в этой традиции. Только в семнадцатом веке, когда все усилия применить паппову эвристику к новой науке оказались тщетными, поиски верности получили верх над поисками оконча­тельности.

[111] Это доказательство принадлежит Пуанкаре [см. его работы (1893) и (1899)].

[112] Есть много других доказательств догадки Эйлера. Деталь­ный эвристический разбор доказательств Эйлера, Жордана и Пу­анкаре см. Lacatos (1961).

[113] Пуансо, Люилье, Коши, Штейнер, Крелле все думали, что различные доказательства доказывают одну и ту же теорему — «теорему Эйлера». Процитируем характерную фразу из стандарт­ного учебника: «Эта теорема восходит к Эйлеру, первое доказа­тельство дано Лежандром, второе Коши» (Крелле, 1827, II, стр. 671).

Пуансо очень близко подошел к тому, чтобы заметить эту разницу, когда сказал, что лежандрово доказательство применимо не только к обыкновенным выпуклым многогранникам. (см. при­мечание 103). Но когда он затем сравнил дока­зательство Лежандра с эйлеровым (тем, которое основано на обре­зании пирамидальных углов многогранника так, что в окончатель­ном результате получается тетраэдр с неизменившейся эйлеровой характеристикой) (1751), то он отдал предпочтение лежандрову на основании «простоты». Эта «простота» стоит здесь в согласии с идей XVIII в. о строгости: ясность в мысленном эксперименте. Ему не пришло в голову сравнить оба доказательства по содержанию; тогда эйлерово доказательство оказалось бы более вы­соким. (По существу в доказательстве Эйлера нет никаких непра­вильностей. Лежандр применил субъективный стандарт совре­менной ему строгости и пренебрег объективным стандартом содержания.)

Люилье в скрытой критике этого места (он не упоминает Пуансо) указывает, что простота Лежандра является только «ка­жущейся», потому что она предполагает довольно большое пред­варительное знание сферической тригонометрии (1812—1813, стр. 171). Но Люилье тоже верит, что Лежандр «доказал ту же теорему», что и Эйлер (там же, стр. 170).

Штейнер присоединяется к нему в оценке доказательства Ле­жандра и в мнении, что все доказательства доказывают ту же теорему (1826). Единственная разница заключается в том, что, по Штейнеру, все различные доказательства доказывают, что «все многогранники будут эйлеровыми», по Люилье же, все различные доказательства доказывают, что «все многогран­ники, не имеющие туннелей, пустот и кольцевид­ных граней, будут эйлеровыми».

Коши написал свою работу (1811) о многогранниках, когда ему еще было чуть больше двадцати лет, задолго до его революции строгости, и нельзя упрекать его, что он во введении ко второй ча­сти своего трактата повторяет принадлежащее Пуансо сравнение доказательств Эйлера и Лежандра. Он — как и большинство его современников — не понял различия в глубине разных доказа­тельств и не мог оценить действительную силу своего собственного доказательства. Он думал, что дал только еще одно дока­зательство той же самой теоремы, но с готовностью подчеркивал, что просто получил тривиальное обобщение формулы Эйлера для некоторых групп многогранников.

Жергонн был первым, кто оценил несравненную глубину до­казательства Коши (Люилье, 1812—1813, стр. 179).

[114] См. реплику Омеги и реплику Мю.

[115] См. реплику Омеги.

[116] Эта задача, была отмечена Люилье (1812—1813, стр. 189) и независимо от него Гесселем (1832). В статье Гесселя рисунки обеих картинных рам помещены рядом. См. также подстрочное примечание 134.

[117] Полья называет это «парадоксом изобретателя» (1945, стр. 110).

[118] См. примечание 123. Эта таблица заимствована у Полья (1954, т. I, стр. 36).

[119] См. главу 1.

[120] Это важное уточнение для примечания 17.

[121] Полья (1957), т. I, стр. 5 и 7.

[122] См. прим.118.

[123] Эти испытания и ошибки были прекрасно реконструированы Полья. Первая догадка состоит в том, что F возрастает вместе с V. Когда это было отвергнуто, то последовали еще две догадки: Е воз­растает вместе с F; E возрастает вместе с V. Четвертой была выигрышная догадка: Р + V возрастает вместе с Е (1954, т. I, стр. 35—37).

[124] С другой стороны, те, которые вследствие обычного дедук­тивного представления математики начинают думать, что путь открытия идет от аксиом и (или) определений к доказательствам и теоремам, могут полностью забыть о возможности и важности наивного угадывания. Фактически в математической эвристике наибольшую опасность представляет дедуктивизм, тогда как в науч­ной эвристике, наоборот, индуктивизм.

[125] Возрождением математической эвристики в этом веке мы обязаны Полья. Его подчеркивание сходств между математической и научной эвристикой является одной из важных черт его замеча­тельного труда. То, что можно рассматривать как единственную его слабость,— связано с его силой: он никогда не ставил под во­прос индуктивность науки и вследствие своего правильного пред­ставления глубоких аналогий между научной и математической эвристикой пришел к мысли, что математика тоже является индук­тивной. То же самое случилось ранее с Пуанкаре (см. его книгу, 1902, Введение) и также с Фреше (1938).

[126] См. реплику Альфы.

[127] Согласно эвристике Паппа, математическое открытие начи­нается с догадки, за которой следует анализ. Предполагается, что если анализ не обнаружит ложность догадки, то затем сле­дует синтез (см. примечания 17 и 110). Но в то время как наше понимание анализа-синтеза улучшает предположение, паппово понимание только доказывает или отвергает его.

[128] См. Robinson (1936), стр. 471.

[129] См. реплику Учителя.

[130] Это было сделано Рашигом (Raschig, 1891).

[131] Норре (1879), стр. 102.

[132] Это тоже часть папповой эвристики. Анализ, начинаю­щийся с догадки, он называет «теоретическим», а анализ, начинающийся без догадки,— «проблемным» (Heath, 1925, т. I, стр. 138). Первый относится к проблемам для доказатель­ства, а второй — к проблемам для решения (или к проблемам для нахождения). См. также Polya (1945), стр. 129-136 («Папп») и 197-204 («Работая назад»).

[133] Этот «порядок» был восстановлен Люилье приблизительно с той же формулой (1812—1813, стр. 189) и Гессолем с нескладной, придуманной ad hoc формулой относительно различных способов соединения друг с другом эйлеровых многогранников (1832, стр. 19—20). Ср. примечание 116.

[134] Исторически Люилье в своей книге (1812—1813) при помощи наивной догадки сумел обобщить формулу Эйлера и пришел к та­кой формуле: V — Е + F = 2[(с — Т + 1) + (р₁, + р₂ +...)], где с — число полостей, Т — туннелей и p_i — число внутренних многоуголь­ников на каждой грани. Он также доказал ее для «внутренних многоугольников», но туннели как будто доставили ему затрудне­ния. Он построил эту формулу, пытаясь разобраться в своих трех видах «исключений», но его список исключений неполон (см. примечание 37). Более того, эта неполнота не была единственной причиной ложности его наивной догадки; он не заметил, что могут существовать многосвязные полости, что не всегда можно одно­значно определить число туннелей в многограннике с разветвляю­щимися туннелями, и что основное значение имеет не «число внут­ренних многоугольников», но число кольцеобразных граней (его формула отказывает в случае двух прилегающих внутренних мно­гоугольников с общим ребром). Критику индуктивного обобщения Люилье можно найти у Листинга (1861, стр. 98—99). См. также примечание 159.

[135] Очень небольшое число математиков девятнадцатого столе­тия были смущены таким тривиальным увеличением содержания и действительно не знали, что с ним делать. Некоторые — вроде Мебиуса — пользовались определениями, устраняющими монстры (см. стр. 24); другие — вроде Гоппе — исправлением монстров. Книга Гоппе (1879) в особенности показательна. С одной стороны, он — как большое число его современников — очень хотел получить совершенно законченную «обобщенную формулу Эйлера», которая покрывала бы все. С другой стороны, он чувствовал от­вращение к тривиальным сложностям. Поэтому, говоря, что его формула «полная, всеобъемлющая», он смущенно добавлял, что «особые случаи могут сделать сомнительным перечисление (состав­ных элементов)» (стр. 103). Иными словами, если какой-нибудь неуклюжий многогранник не подходит под его формулу, то его элементы были неправильно сосчитаны и это уродство должно быть исправлено при помощи правильного зрения; например, общие вер­шины и ребра тетраэдров-близнецов должны быть увидены и со­считаны дважды и каждый близнец должен считаться за отдель­ный тетраэдр (там же). Дальнейшие примеры см. примечание 166.