А) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину

Каппа. Альфа уже сказал, что наш «старый» метод приводит к порочной бесконечности[169]. Гамма и Ламбда от­ветили надеждой, что поток опровержений может иссяк­нуть[170]; но теперь, когда мы понимаем механизм успеха опровержений — расширение понятий,— мы знаем, что их надежда была тщетной. Для всякого предложения все­гда найдется некоторое достаточно узкое толкование его терминов, которое окажется истинным, и некоторое доста­точно широкое, которое окажется ложным. Какое толкова­ние предполагается, и какое нет, зависит, конечно, от на­ших намерений. Первое толкование можно было бы наз­вать догматическим, подтвердительным ил и оправдательным толкованием, а второе скеп­тическим, критическим или опровергатель­ным. Альфа назвал первое конвенционалистской страта­гемой[171], но теперь мы видим, что второе будет таким же. Вы все осмеяли догматическое толкование Дельтой наив­ной догадки[172], а затем догматическое толкование Альфой теоремы[173]. Но расширение понятий опровергает всякое утверждение и вообще не оставит истинного утвержде­ния.

Гамма. Постойте. Правда, мы расширили понятие «многогранник», затем разорвали его и отбросили; как указал Пи, наивное понятие «многогранник» уже не фигу­рирует больше в теореме.

Каппа. Но тогда вы начнете расширять термин в тео­реме — теоретический термин, не правда ли? Вы сами ре­шили расширить «односвязную грань» так, чтобы включить круг в боковую поверхность цилиндра[174]. Вы подра­зумевали, что интеллектуальная честность требует подста­вить шею, добиться почетного статуса опровергаемости, т. е. сделать возможным толкование опровергателя. Но при наличии расширения понятий опровергаемость озна­чает опровержение. Таким образом, вы скользите по бесконечному склону, опровергая каждую теорему и заме­няя ее более «строгой» — такой, ложность которой еще не выявлена. Но вы никогда не выйдете из ложно­сти.

Сигма. А что, если мы остановимся на некотором пун­кте, примем оправдательные толкования и не будем тро­гаться дальше от истины или от той частной лингвистиче­ской формы, в которой была выражена истина?

Каппа. Тогда вам придется отражать контрапримеры, расширяющие понятия, вместе с устраняющими мон­стры определениями. Таким образом, вы будете скользить по другому бесконечному склону: вы будете принуждены принимать каждую «особую лингвистическую форму» ва­шей истинной теоремы, которая не будет достаточно то­чной, и вы будете принуждены включать в нее все более и более «строгие» определения, выраженные в терминах, неясность которых еще не разоблачена. Но вы никогда не выйдете из неясности.

Тета (в сторону). Что же плохо в эвристике, где неясность является ценой, которую мы платим за рост?

Альфа. Я сказал вам: точные понятия и непоколеби­мые истины живут только в мысли, но не в языке!

Гамма. Позвольте мне сделать вам вызов, Каппа. Возьмите теорему, как она стояла после того как мы учли цилиндр: «Для всех простых объектов с односвязными гранями, у которых ребра оканчиваются в вершинах, V—Е+F = 2». Как вы опровергнете это методом расши­рения понятий?

Каппа. Прежде всего я вернусь к определяющим тер­минам и произнесу предложение полностью. Затем я решу, какие понятия надо расширить. Например, «простой» сто­ит вместо «могущий быть растянутым в плоскости после отнятия одной грани». Я растяну термин «растягивание». Возьмите уже обсужденные тетраэдры-близнецы, имеющие общее ребро (рис. 6,а). Этот многогранник будет простым, его грани—односвязными, но V—Е+F = 3. Итак, наша теорема неверна.

Гамма. Но эти близнецы-тетраэдры не будут про­стым многогранником!

Каппа. Конечно, будут простым. Отнимая любую грань, я могу растянуть его на плоскости. Мне придется только быть осторожным, когда я подойду к критическому ребру, чтобы ничего не разорвать, открывая по этому ребру второй тетраэдр.

Рис. 24

Гамма. Но это же не растягивание! Вы режете — или расщепляете — ребро на два ребра. Вы, конечно, не можете поместить одну точку в двух точках: растя­гивание является дважды непрерывным од­нозначным отображением.

Каппа. Определение 9? Боюсь, что это узкое, догматическое толкование «растягивания» не удовлетво­рит моему здравому смыслу. Например, я вполне могу в во­ображении растянуть квадрат (рис. 24,а) в два вложен­ных друг в друга квадрата, если растяну его контурную линию (рис. 24,6). Назовете ли вы это растягивание раз­резом или расщеплением только потому, что оно не пред­ставляет «дважды непрерывного однозначного отображе­ния». Между прочим, я удивляюсь, почему вы не опреде­лили растягивание как преобразование, которое оставляет F, Е и F неизменными, и покончили бы с этим?

Гамма. Верно, вы опять выиграли. Я должен или со­гласиться с вашим опровергательным толкованием «растя­гивания» и расширить мое доказательство, или найти бо­лее глубокое, или включить лемму, или ввести определе­ние, устраняющее монстры. Однако в каждом из этих слу­чаев я всегда буду делать более и более ясными мои опре­деляющие термины. Почему я не должен прийти к такой точке, для которой значение терминов будет настолько кристально ясным, что может быть только одно-единствен­ное толкование, как в случае с 2 + 2=4? Здесь нет ничего эластичного в смысле этих терминов и ничего опровержи­мого в истине этого определения, которое вечно сияет в естественном свете разума.

Каппа. Мутный свет!

Гамма. Расширьте, если вы можете.

Каппа. Но это же детская игра! В некоторых случаях два и два составляют пять. Предположим, что просим при­слать две вещи, из которых каждая весит два фунта; они были присланы в ящике, весящем один фунт; тогда в этой упаковке два фунта и два фунта составляют пять фунтов!

Гамма. Но вы получаете пять фунтов, складывая три груза, 2 и 2 и 1!

Каппа. Верно, наша операция «2 и 2 составляют 5» не представляет сложения в первоначальном смысле этого слова. Но простым расширением смысла сложения мы мо­жем сделать этот результат истинным. Наивное сложение представляет очень частный случай упаковки, когда вес покрывающего материала равен нулю. Нам нужно вклю­чить эту лемму в догадку в качестве условия: наша ис­правленная догадка будет: «2+2 = 4 для «невесомого» сло­жения»[175]. Вся история алгебры представляет ряд таких расширений понятий и доказательств.

Гамма. Я думаю, что вы «растягиваете» слишком да­леко. В следующий раз вы истолкуете «плюс» как «косой крест» и будете рассматривать это как опровержение! Или вы истолкуете «все» как «не» в положении: все многогран­ники суть многогранники»! Вы расширяете понятие рас­ширения понятий! Мы должны отграничить опроверже­ние при помощи рационального расширения от «опровержения» при помощи иррационального рас­ширения. Мы не можем позволить вам расширить лю­бой термин так, как вы этого хотите.

Мы должны закрепить понятие контрапримера в кри­стально ясных терминах!

Дельта. Даже Гамма обратился в устранителя мон­стров: теперь для опровержения расширением понятий он хочет получить определение, устраняющее монстры. Разумность в конце концов зависит от неэластических, точных понятий[176].

Каппа. Но таких понятий не существует! Почему не принять, что наша способность уточнять смысл наших выражений ничтожна и поэтому наша способность доказывать тоже ничтожна? Если вы хотите, чтобы математика имела смысл, то вы должны отказаться от достоверности. Если вы хотите достоверности, избавьтесь от смысла. Вы не можете иметь и то и другое. Тарабарщина безо­пасна от опровержений, имеющие смысл предложения могут быть опровергнуты расширением понятий.

Гамма. Тогда ваши последние утверждения тоже могут быть опровергнуты — и вы знаете это. «Скептики — это не секта людей, убежденных в том, что они говорят, это – секта лжецов»[177].

Каппа. Ругательства — последнее прибежище ра­зума!