![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
[12] Эйлер проверил свою догадку достаточно исчерпывающим образом. Он испытал ее на призмах, пирамидах и т. д. Он мог бы добавить, что существование только пяти правильных тел тоже является следствием его догадки. Другое подозреваемое следствие представляет недоказанное до сих пор предложение, что четырех цветов вполне достаточно для раскрашивания карты.
Фазы догадки и испытания в случае V—E+F=2 разобраны Полья (1954), т. 1 (первые пять отделов третьей главы, стр. 35—41). Полья остановился здесь и не разобрал фазы доказательства, хотя, конечно, он указал на необходимость для эвристики «задач для доказательства». Наше рассуждение начинается там, где Polya останавливается.
[13] Так думал Эйлер в 1750 г. (стр. 119 и 124). Но позднее (1751) он предложил доказательство.
[14] Идея этого доказательства восходит к Коши (1811).
[15] Мнение Дельты, что это доказательство установило «теорему», вне всякого сомнения, разделялось многими математиками XIX в., например Crelle (Crelle, 1826—1827), т. II, стр. 668— 671, Маттисеп (Matthiesen, 1863), стр. 449, Жонкьер (Jonquieres, 1890а и 1890b). Стоит привести характерный пассаж: «После доказательства Коши стало абсолютно несомненным, что изящное соотношение V — Е + F = 2 применимо к многогранникам любога вида, как и установил Эйлер в 1752 г. В 1811 г. вся нерешительность должна была исчезнуть» [Жонкьер (1890), стр. 111—112].
[16] Этот класс, по-видимому, очень передовой. Для Коши, Пуансо и многих других прекрасных математиков XIX в. эти вопросы не существовали.
[17] Мысленный эксперимент (deiknymi) был наиболее древним образом математического доказательства. Он преобладал в доевклидовой греческой математике [см. Шабо (A. Szabo, 1958)].
То, что в эвристическом порядке догадки (или теоремы) предшествуют доказательствам, было общим местом у древних математиков. Это вытекает из эвристического предшествования «анализа» «синтезу» [см. прекрасный разбор у Робинсона (Robinson, 1936)]. По Проклу — «необходимо сначала знать, что ищешь» [Хизс (Heath, 1925, т. 1, стр. 129)]. «Они говорили, что теорема представляет то, что предложено с намерением доказать это предложение», — говорит Папп (там же, т. 1,10). Греки не думали много о предложениях, на которые они случайно наталкивались по ходу дедукции, если только предварительно о них не догадывались. Они называли поризмами — следствиями — те побочные результаты, которые получались из доказательства теоремы или решения задачи, результаты которых они непосредственно не искали; эти поризмы появлялись в таком виде случайно, без каких-нибудь добавочных трудов, и представляли, как говорит Прокл, нечто вроде плода, сбитого ветром (ermaion) или премии (kerdos) (Там же, стр. 278). В издательском послесловии к Эйлеру (1753) мы читаем, что арифметические теоремы «бывали открыты задолго до того, как их истинность была подтверждена строгим доказательством». Как Эйлер, так и издатель для этого процесса открытия употребляют новейший термин «индукция» вместо древнего «analysis». Эвристическое предшествование результата перед аргументацией или теоремы перед доказательством глубоко укоренилось в математическом фольклоре. Приведем несколько вариаций на знакомую тему: говорят, что Хризипп написал Клеанфу: «Пришли только мне теоремы и тогда я найду доказательства» [Диоген Лаэрций (ок. 200), VII, 179], Говорят, что Гаусс жаловался: «Я уже давно имел мои результаты, но я еще не знаю, как мне к ним прийти» [см. Арбер (Аrber, 1954), стр. 77)] и Риман: «Если бы я только имел теоремы! Тогда я смог бы достаточно легко найти доказательства» [См. Гёльдер (Holder, 1924), стр. 487]. Полья подчеркивает: «Вы должны угадать математическую теорему, прежде чем вы ее докажете» [(1954), т. 1, стр. VI].
Термин «квази-эксперимент» взят из вышеупомянутого издательского послесловия к Эйлеру (1753). Издатель пишет: «Поскольку мы должны отнести числа к области одного лишь чистого интеллекта, то нам трудно понять, каким образом наблюдения и квази-эксперименты могут быть полезными при исследовании природы чисел. Как я покажу здесь при помощи очень хороших доводов, известные в настоящее время свойства чисел действительно были большей частью открыты наблюдением...». Полья по ошибке приписывает эту цитату самому Эйлеру (1954, т. 1, стр. 3).
[18] Люилье (Lhuilier), исправляя подобным образом доказательство Эйлера, сказал, что он делает только «небольшое замечание» (1812—1813, стр. 179). Однако сам Эйлер, заметив неувязку, от казался от доказательства, а этого «небольшого замечания» не сделал.
[19] Коши думал, что для нахождения на каждой стадии треугольника, который может быть вынут с устранением или двух ребер с вершиной, или лишь одного ребра, можно дать очень простую инструкцию для любого многогранника (1811, стр. 79). Это, конечно, связано с неспособностью вообразить многогранник, который не был бы гомеоморфным со сферой.
[20] Этот контрапример 1 был впервые замечен Люилье (1812— 1813, стр. 194). Но издатель Жергонн (Gergonne) добавил (стр. 180), что он и сам заметил это задолго до статьи Люилье. Этого не сделал Коши, опубликовавший свое доказательство за год до этого. Этот контрапример был через двадцать лет снова открыт Гесселем (Hessel, 1832, стр. 16). И Люилье и Гессель пришли к своему открытию, рассматривая минералогическую коллекцию, в которой они заметили несколько двойных кристаллов, где внутренний кристалл был непрозрачным, а внешний пропускал свет. Люилье признал, что стимул к своему открытию он получил от коллекции кристаллов своего друга профессора Пикте (1812—1813, стр. 188), Гессель упоминает о кубах сернистого свинца, заключенных в прозрачных кристаллах полевого шпата (1834, стр. 16).
[21] Определение 1 встречается впервые в XVIII столетии, например, «Название многогранного тела или просто многогранника дают любому телу, ограниченному плоскостями или плоскими гранями» (Лежандр, 1794, стр. 160). Подобное же определение дано Эйлером (1750). Евклид, определяя куб, октаэдр, пирамиду, призму, не дает определения общего термина «многогранник», но иногда пользуется им (например, книга XII, вторая задача, предложение 17).
[22] Определение 2 мы находим неявно в одной из работ Жонкьера, прочитанных во французской Академии против тех, кто хотел отвергнуть теорему Эйлера. Эти работы представляют целое сокровище техники удаления монстров. Он мечет громы против чудовищной пары всаженных кубов Люилье: «Эта система представляет не многогранник, но пару многогранников, каждый из которых не связан с другим... Многогранник, по крайней мере с классической точки зрения, заслуживает это имя прежде всего только тогда, когда точка может непрерывно двигаться по всей его поверхности; в данном случае это не так... Это первое исключение Люилье может быть поэтому устранено» (1890b, стр. 170). Это определение, противопоставленное Определению 1, хорошо подойдет аналитическим топологам, которые совершенно не интересуются многогранниками как таковыми, по только их поверхностями, как горничная во время уборки.
[23] Контрапримеры 2, а и 2, b не были замечены Люилье и впервые открыты только Гесселем (1832, стр. 13).
[24] Определение 3 для устранения наших близнецов-тетраэдров впервые встречается у Мебиуса (1865, стр. 32). Это путаное определение воспроизводится в некоторых новейших учебниках обычным авторитарным путем: «бери без разговоров»; история этого принципа, устраняющего монстры, которая по крайней мере уяснила бы его смысл, еще не рассказана [см. Гильберт (Hilbert) Кон-Фоссен (Cohn-Vossen, 1956), стр. 200].
[25] Определение И, согласно которому эйлеровость была бы определяющей характеристикой многогранника, в действительности было предложено Балцером: «Обычные многогранники иногда (по Гесселю) называются эйлеровыми многогранниками. Было бы лучше найти специальное название для ненастоящих (uneigen-tliche) многогранников» (1860, т. II, стр. 207). Упоминание о Гесселе неправильно: Гессель использовал термин «эйлеров» просто как сокращенное название многогранников, для которых соотношение Эйлера справедливо в противоположность неэйлеровым (1832, стр. 29). Относительно Определения И см. также цитату из Шлефли в следующем примечании.
[26] «Морской еж» был впервые разобран Кеплером в его космологической теории (1619, кн. II, 19 и 26 и кн. V, гл. 1, 3, 9, 47). Название «морского ежа» принадлежит Кеплеру (cui nomen Echino feci). Рис. 7 скопирован с его книги (стр. 52), которая содержит еще и другую картинку на стр. 182. Пуансо независимо открыл его второй раз; именно он указал, что формула Эйлера не приложима к нему (1809, стр. 48). Стандартный термин нашего времени «малый звездчатый многогранник» принадлежит Кэйли (1859, стр. 125). Шлефли вообще допускал звездчатые многогранники, но тем не менее отбросил наш малый звездчатый многогранник как монстр. По его мнению,— «это не будет настоящим многогранником, так как он не удовлетворяет условию V — Е + F = 2» (1852, § 34).
[27] Диспут о том, надо ли определять многоугольник так, чтобы включить и звездчатые многоугольники (Определение 4 или Определение 4'), является очень старым. Выставленный в нашем диалоге аргумент — что звездчатые многоугольники могут существовать как обыкновенные многоугольники в пространстве высших измерений — является новейшим топологическим аргументом, но можно выдвинуть и много других. Так, Пуансо, защищая свои звездчатые многогранники, в пользу допущения звездчатых многоугольников приводил аргументы, заимствованные из аналитической геометрии: «все эти различия (между обыкновенными и звездчатыми многоугольниками) являются более кажущимися, чем действительными, и полностью исчезают в аналитическом изложении, где эти различные виды многоугольников совершенно неразделимы. Ребру правильного многоугольника соответствует уравнение с действительными корнями, одновременно дающее ребра всех правильных многоугольников того же порядка. Таким образом, нельзя получить ребра правильного вписанного семиугольника, не найдя в то же время семиугольников второго и третьего рода. Обратно, если дана сторона правильного семиугольника, то можно определить радиус круга, в который он может быть вписан, но, делая это, мы найдем три различных круга, соответствующих трем родам семиугольника, который может быть построен на данной стороне; аналогично и для других многоугольников. Таким образом, мы имеем право дать название многоугольника этим новым звездчатым фигурам» (1809, стр. 26).
Шредер пользуется аргументом Ганкеля: «В алгебре было весьма плодотворным распространение на рациональные дроби понятия о степени, первоначально связанного только с целыми числами; это подсказывает нам сделать такую же попытку и в геометрии, когда представится возможность...» (1862, стр. 56). Затем он показывает, что геометрическую интерпретацию многоугольников с числом сторон p/q можно найти в виде звездчатых многоугольников.
[28] Заявление Гаммы, что он может определить площадь звездчатых многоугольников, не блеф. Некоторые из защитников более широкого понятия о многоугольниках решили эту задачу, выставив более широкое определение площади многоугольника. Это, в частности, можно сделать очевидным в случае правильных звездчатых многоугольников. Мы можем взять площадь многоугольника как сумму площадей равнобедренных треугольников, которые соединяют центр вписанного или описанного круга со сторонами многоугольника. В этом случае, конечно, некоторые «части» звездчатого многоугольника будут считаться не один раз. В случае неправильных многоугольников, где у нас нет никакой выделяющейся точки, мы можем в качестве начала взять любую точку и рассматривать отрицательно ориентированные треугольники как отрицательные площади (Мейстер, 1769—1770, стр. 179). Оказывается — и этого наверняка можно было ждать от «площади» — что определенная так площадь не будет зависеть от выбора начала (Мебиус, 1827, стр. 218). Конечно, можно спорить с теми, кто не считает оправданным понятия «площади» как числа, полученного в результате такого подсчета; однако защитники определения Мейстера — Мебиуса называют его «правильным определением», которое «одно только научно оправдано» [замечания Р. Гаусснера (Haussner, 1906, стр. 114—115)]. Искание сущности было характерной чертой в спорах об определениях.
[29] Контрапример 4 мы найдем и в классическом труде Люилье (1812—1813) на стр. 185. Жергопн добавил, что он тоже знал его. Но Грунерт не знал его четырнадцатью годами позже (1827), а Пуансо — сорока пятью годами (1858, стр. 67).
[30] Это парафраз из письма Эрмита к Стильтьесу: «Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных» (1893).
[31] «Исследования, производимые над... функциями, нарушающими законы, на универсальность которых возлагались надежды, рассматривались почти как распространение анархии и хаоса там, где прошедшие поколения искали порядка и гармонии» (Сакс, 1933, Предисловие). Сакс говорит здесь о жарких битвах устранителей монстров (вроде Эрмита) с опровергателями, характерных для последних десятилетий XIX в. (и, конечно, начала XX в.) в развитии современной теории функций действительного переменного, «ветви математики, которая имеет дело с контрапримерами» [Мунро (Munroe, 1953, Предисловие)]. Бушевавшая несколько позже между противниками и защитниками математической логики такая же ярая битва была ее непосредственным продолжением. См. также подстрочные примечания 34 и 35.
[32] Определение 5 было выставлено неутомимым устранителем монстров Жонкьером, чтобы убрать с дороги многогранник Люилье с туннелем (картинная рама): «И этот многогранный комплекс не будет настоящим многогранником в обычном смысле этого слова; действительно, если провести какую-нибудь плоскость через любую точку внутри одного из туннелей, проходящих через тело, то получающееся поперечное сечение составится из двух различных многоугольников, совершенно не связанных друг с другом; в обычном многограннике это может иметь место для некоторых положений секущей плоскости, а именно в случае некоторых невыпуклых многогранников, но не для всех таких» (1890b, стр. 170— 171). Можно задаться вопросом, заметил ли Жонкьер, что его Определение 5 исключает также некоторые невыпуклые сфероидальные многогранники.
[33] «Мы не должны забывать, что кажущееся сегодня уродством завтра может быть началом линии специального приспособления... Я подчеркнул важность редких, но крайне богатых следствием мутаций, влияющих на ход решающих эмбриональных процессов, которые могут положить начало тому, что можно назвать подающими надежды уродами, уродами, которые начнут новую эволюционную линию, если приспособятся к какой-нибудь незанятой окруженческой нише» (Гольдшмидт, 1933, стр. 544 и 547). Мое внимание было привлечено к этой работе Поппером.
[34] Парафраз из Пуанкаре (1908, стр. 131—132). Полный оригинальный текст таков: «Логика иногда делает чудовища. Вот уже с половины века мы наблюдаем, как появляется толпа странных функций, которые, по-видимому, пытаются возможно меньше походить на честные функции, служащие какой-нибудь цели. Нет уже больше непрерывности, а если иногда и бывает, то без производных, и т. д. Даже больше, со строго логической точки зрения, именно эти странные функции и являются наиболее общими, а те, с которыми встречаешься без особых поисков, уже являются только как частные случаи. Для них остается только самый маленький уголок.
До сих пор, когда изобретали новую функцию, это было для какой-нибудь практической цели; сегодня их изобретают специально для того, чтобы сделать ошибочными рассуждения наших отцов, и ничего другого получить из них нельзя.
Если бы логика была единственным руководителем учителя, то стало бы необходимым начинать с наиболее общих функций, т. е. с наиболее странных. Именно начинающему пришлось бы разбираться в этом тератологическом музее». Пуанкаре обсуждает эту задачу в связи с положением в теории действительных функций, но это неважно.
[35] Парафраз из Данжуа (Denjoy, 1919, стр. 21).
[36] Берар (Berard, 1818-1819, стр. 347 и 349).
[37] Гессель (Hessel, 1832, стр. 13). Гессель снова открыл в 1832 г. «исключения» Люилье. Работу Люилье (1812—1813) он прочел как раз после отправки своей рукописи. Однако он решил не требовать назад своей работы, хотя большая часть ее результатов уже оказалась опубликованной ранее; он думал, что острие его статьи должно быть направлено против «новейших авторов», игнорирующих эти исключения. Случилось, между прочим, что одним из этих авторов был издатель журнала, в который Гессель послал свою статью, а именно Крелле (A. I. Crelle). В своем курсе (1826—1827) он «доказал», что теорема Эйлера верна для всех многогранников (т. II, стр. 668—671).
[38] Matthiesson (1863, стр. 49). Маттисен говорит здесь об «Lehr-buch der Geometrie» Heis'a и Eschweiler'a и об «Lehrbuch der Ste-reometrie» Grunert'a. Маттисен, однако, решил эту задачу не как Эта, устранением монстров, а их исправлением, как Ро (см. примечание 59).
[39] Это из введения Коши к его знаменитой книге (1821).
[40] Люилье и Жергонн были, по-видимому, уверены, что список Люилье содержит все исключения. Во введении к этой части работы мы читаем: «Каждый может легко убедиться, что теорема Эйлера справедлива вообще для всех многогранников, будут ли они выпуклыми, или нет, за исключением специально указанных случаев» [Люилье (1812—1813, стр. 177)]. Затем в примечаниях Жергонна мы опять читаем: «...указанные исключения, по-видимому, являются единственными возможными» (там же, стр. 188). Но в действительности Люилье пропустил тетраэдров-близнецов, которые впервые были замечены только через -двадцать лет Гесселем (1832). Стоит отметить, что некоторые ведущие математики, даже математики с живым интересом к методологии, вроде Жергонна, могли верить, что можно полагаться на метод устранения исключений. Эта уверенность аналогична «методу деления» в индуктивной логике, согласно, которому для явлений может быть произведено полное перечисление возможных объяснений, и что вследствие этого метод experimentum crucis, исключающий все объяснения, кроме одного, доказывает это последнее.
[41] И. Ньютон (1717, стр. 380).
[42] Абель (1826). Его критика, по-видимому, направлена против эйлерова индуктивизма.
[43] Это тоже парафраз из цитированного письма, в котором Абель заботился об устранении исключений из общих «теорем» относительно функций и об установлении таким образом абсолютной строгости. Его оригинальный текст (вместе с предыдущей цитатой) таков: «В высшем анализе очень мало предложений доказано с окончательной строгостью. Везде встречаешься с этим несчастным путем заключения от частного к общему и можно удивляться, что этот процесс только очень редко приводит к тому, что называется парадоксом. Конечно, очень интересно посмотреть, в чем тут причина. По моему мнению, причина заключается в том, что аналитики большей частью занимались функциями, которые могут быть выражены степенными рядами. Как только появляются другие функции, что, конечно, встречается очень редко, движение вперед не происходит, так как начинают получаться ложные заключения, следует бесчисленное множество ошибок, из которых одна подпирает другую...» (подчеркнуто мной. — Авт.). Пуансо нашел, что в теории многогранников, а также в теории чисел индуктивное обобщение «часто» терпит крушение: «В большей части свойства являются индивидуальными и не подчиняются какому-нибудь общему закону» (1809, § 45). Интригующая характеристика этой осторожности к индукции заключается в том, что отдельные крушения приписываются тому обстоятельству, что вся совокупность (фактов, чисел, многогранников), конечно, содержит удивительные исключения.
[44] Это опять очень близко подходит к методу Абеля. Таким же путем область «подозрительных» теорем о функциях Абель ограничил степенными рядами. В истории догадки Эйлера такое ограничение выпуклыми многогранниками было весьма обычным. Лежандр, например, дав свое общее определение многогранников (ср. подстрочное примечание И), предлагает доказательство, которое, с одной стороны, неприменимо ко всем его многогранникам вообще, а с другой, применимо ко многим невыпуклым. Тем не менее в дополнительном примечании мелким шрифтом (может быть, эта мысль появилась после того, как он натолкнулся па никем ранее не. сформулированное исключение) он скромно, по безопасно отступает к выпуклым многогранникам (1809, стр. 161, 164, 228).
[45] Многих работающих математиков смущает вопрос, чем же являются доказательства, если они не могут доказывать. С одной стороны, они знают из опыта, что доказательства могут быть ошибочными, а с другой,— по своему догматистскому углублению в доктрину они знают, что подлинные доказательства должны быть безошибочными. Математики-прикладники обычно решают эту дилемму застенчивой, но крепкой верой, что доказательства чистых математиков являются «полными» и что они действительно доказывают. Чистые математики, однако, знают лучше — они уважают только «полные доказательства», которые даются логиками. Если же их спросить, какова же польза или функция их «неполных доказательств», то они большей частью теряются. Например, Харди (С. Н. Hardy) имел большое почтение к требованию логиками формальных доказательств, но когда захотел охарактеризовать математическое доказательство, «как мы работающие математики его знаем», то он сделал это следующим образом: «Строго говоря, такой вещи, как математическое доказательство, не существует; все, что мы можем сделать в конце анализа, это только показать:...доказательства представляют то, что Литтльвуд и я называем газом, риторическими завитушками, предназначенными для воздействия па психологию, картинками на доске во время лекции, выдумками для стимулирования воображения учеников» (1928, стр. 18). Уайльдер (R. L. Wilder) думает, что доказательство представляет «только процесс испытания, которому мы подвергаем внушения нашей интуиции» (1944, стр. 318). Полья указывает, что доказательства, даже если они неполны, устанавливают связи между математическими фактами и это помогает нам удерживать их в нашей памяти: доказательства дают мнемотехническую систему (1945, стр. 190—191).
[46] L. Matthiessen (1863).
[47] Аргументация, что «морской еж» является «в действительности» обыкновенным прозаическим эйлеровым многогранником с 60 треугольными гранями, 90 ребрами и 32 вершинами — «un hexacontaedre sans epithete» — была выставлена крепким бойцом за правильность эйлеровой теоремы Жонкьером (1890а, стр. 115). Однако идея понимания неэйлеровых звездчатых многогранников, как эйлеровых многогранников, состоящих из треугольников, но происходит от Жонкьера, но имеет драматическую историю (см. примечание 49).
[48] Ничто не может быть более характерным для догматистской теории познания, как ее теория ошибок. Действительно, если некоторые истины очевидны, то нужно объяснить, каким образом кто-нибудь может в них ошибаться, иными словами, почему истины не бывают для всех очевидными. Каждая догматистская теория познания в соответствии со своей частной теорией ошибок предлагает свою частную терапевтику для очистки мозга от ошибок. [Ср. Поппер (1963), Введение.]
[49] Пуансо наверняка выстирал свои мозги когда-то между 1809 и 1858 годами. Ведь как раз Пуансо снова открыл звездчатые многогранники, впервые проанализировал их с точки зрения эйлеровости и установил, что некоторые из них, вроде нашего малого звездчатого додекаэдра, не удовлетворяют формуле Эйлера (1809). И вот этот самый Пуансо категорически утверждает в своей работе (1858), что формула Эйлера «верна не только для выпуклых многогранников, но и для любого какого угодно многогранника, включая и звездчатые». На стр. 67 Пуансо для звездчатых многогранников употребляет термин «polyedres d'espece superieure». Противоречие очевидно. Как его объяснить? Что случилось с контрапримером — звездчатым многогранником? Ключ лежит в первой, невинно выглядящей сентенции статьи: «Всю теорию многогранников можно привести к теории многогранников с треугольными гранями». Иными словами, Пуансо — Альфа после стирки мозгов превратился в Пуансо — Ро; теперь он видит одни лишь треугольники там, где раньше видел звездчатые многоугольники; теперь он видит только примеры там, где раньше видел контрапримеры. Самокритика, должно быть, производилась потихоньку, скрыто, так как в научной традиции не существует образцов для выполнения таких поворотов. Можно только задуматься, встретились ли ему когда-нибудь кольцеобразные грани, и если да, то сумел ли он сознательно перетолковать их своим треугольным зрением.
Изменение зрения не всегда действует в том же самом направлении. Например, Беккер (I. С. Becker) в своей работе (1869), увлеченный новосозданными понятиями одно- и многосвязных областей (Риман, 1851), допускал кольцеобразные многоугольники, но остался слепым по отношению к звездчатым (стр. 66). Через пять лет после этой статьи, в которой претендовал на «окончательное» решение задачи, он расширил свое зрение и снова увидел звездчато-многоугольные и звездчато-многогранные фигуры там, где раньше видел лишь треугольники и треугольные многогранники (1874).
[50] Это часть стоической теории ошибок, приписываемой Хрисиппу [см. Аэций (ок. 150, IV, 12, 4); также Секст Эмпирик (ок. 190, I, 249)]. По теории стоиков «морской еж» составляет часть внешней действительности, которая производит впечатление на нашу душу: это phantasia или visum. «Умный человек не должен допускать некритического принятия (synkatathesis или adsensus) phantasia, пока она не созреет в ясную и определенную идею (phantasia kataleptike или comprehensio), чего она не может сделать, если является ложной. Совокупность ясных и определенных идей образует науку (episteme). В нашем случае воздействие «морского ежа» на мозг Альфы будет малым звездчатым додекаэдром, а на мозг Ро — треугольным гексакоптаэдром. Ро хочет претендовать на то, что звездчато-многогранное зрение Альфы, вероятно, не сможет созреть в ясную и определенную идею, очевидно, потому, что оно опровергает «доказанную» формулу Эйлера. Таким образом, звездчато-многогранное толкование отпадет, и ясным и определенным станет его «единственная» альтернатива, а именно треугольное толкование.
[51] Это стандартная критика скептиков претензий стоиков, что они могут отличить phantasia от phantasia kataleptike [см, Секст Эмпирик (ок. 190, I, 405)].
[52] Кеплер (1619), кн. II, предложение XXVI.
[53] Это точное изложение взглядов Кеплера.
[54] Я припоминаю, что Поппер различал три уровня понимания. Самый низший — это приятное чувство, что понял аргументацию. Средний уровень — это когда можешь повторить ее. Высший уровень — когда можешь опровергнуть ее.
[55] Контрапример 6 был замечен Люилье (1812—1813, стр. 186); Жергонн сразу принял новизну его открытия. Но почти через пятьдесят лет Пуансо не слышал о нем (1858), а Маттисен (1863) и восьмьюдесятью годами позже де Жонкьер (1890 b) рассматривали его как монстр (см. подстрочные примечания 49 и 59). Примитивные устранители девятнадцатого века присоединили его к списку других исключений в качестве курьеза: «В качестве первого примера обыкновенно показывают случай трехгранной пирамиды, прикрепленной к грани тетраэдра так, чтобы ни одно ребро первой не совпадало с ребром второй. “Довольно странно, что в этом случае V — Е + F = 3,— вот что написано в моем учебнике для коллежей. И этим кончилось дело”» [Маттисен (1863, стр. 449)]. Современные математики стремятся забыть о кольцеобразных гранях, которые могут быть несущественными для классификации трубопроводов, но могут получить значение в других контекстах. Штейнгауз говорит в своей книге (1960): «Разделим глобус на F стран (мы будем рассматривать моря и океаны как землю). Тогда при любом политическом положении мы будем иметь V+F=E+2» (стр. 273). Но вряд ли можно думать, что Штейнгауз уничтожит Сан-Марино или Западный Берлин просто потому, что их существование опровергает теорему Эйлера. (Конечно, он может избежать того, чтобы озера, вроде Байкала, сделались странами, если назовет их озерами, так как он сказал, что только моря и океаны могут быть рассматриваемы как страны.)
[56] «Мемуар Люилье состоит из двух совершенно различных частей. В первой автор предлагает первоначальное доказательство теоремы Эйлера. Во второй он ставит цель указать исключения, которые имеет эта теорема» (Примечание Жергонна-издателя к статье Люилье в книге Люилье (1812—1813, стр. 172). Подчеркнуто мной.— Авт.].
Захариас (Zacharias) в своей работе (1914—1931) дает некритическое, но верное описание такого разделения на два помещения: «В XIX столетии геометры, кроме нахождения новых доказательств теоремы Эйлера, занимались установлением исключений, которые эта теорема представляет в некоторых условиях. Такие исключения были, между прочим, установлены Пуансо. Люилье и Гессель попытались дать классификацию исключений...» (стр. 1052).
[57] Харди, Литтльвуд, Уайльдер, Полья, по-видимому, упустили это из вида (см. прим. 45).
[58] Этот стандартный образец является по существу единственным описанным в классической книге Полья и Сеге (Szego, 1925, стр. VII): «Должно исследовать каждое доказательство, чтобы убедиться, действительно ли были использованы все предположения; нужно попытаться получить то же самое следствие из меньшего числа предположений... и удовлетвориться можно только, когда контрапримеры покажут, что границы возможного уже достигнуты».
Дата публикования: 2014-11-28; Прочитано: 256 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!