Замечание. В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики

В этом отделе я попытался показать, каким образом выступление математического критицизма было движущей силой в поисках «оснований» математики.

Сделанное нами различие между доказательством и анализом доказательства и соответствующее различение строгости доказательства и стро­гости анализа доказательства, по-видимому, является решающим. Около 1800 г. строгость дока­зательства (кристально ясный мысленный экспери­мент или конструкция) противопоставлялась путаной аргу­ментации и индуктивному обобщению. Именно это подразу­мевал Эйлер под термином «rigida demonstratio», и на этом понятии была основана идея Канта о непогрешимой мате­матике [см. его пример математического доказательства в книге (1781), стр. 716—717]. Точно так же думали, что человек доказывает то, что он вознамерился доказать. Ни­кому не приходило в голову, что словесное выражение мыс­ленного эксперимента сопряжено с какой-нибудь реальной трудностью. Аристотелева формальная логика и математи­ка были двумя совершенно раздельными дисциплинами — математики считали первую совершенно бесполезной. До­казательство мысленного эксперимента имело полную убе­дительность без какой-нибудь формы «логической» струк­туры.

В начале XIX в. поток контрапримеров вызвал смуще­ние. Так как доказательства были кристально ясными, то опровержения должны были быть занятными шалостями, должны быть полностью отделены от несомненных дока­зательств. Введенная Коши революция строгости базировалась на эвристическом нововведении, что матема­тик не должен останавливаться на доказательстве: он дол­жен пойти вперед и выяснить, что именно он доказал пу­тем перечисления исключений, или, лучше, установления безопасной области, в пределах которой доказательство является справедливым. Но Коши — или Абель — не видели какой-либо связи между обеими задачами. Им ни когда не приходило в голо­ву, что если они открыли исключение, то им следовало бы еще раз обратить внима­ние на доказательство. (Другие практиковали устранение или приспособление монстров, или даже «за­крывали глаза» — но все соглашались, что доказательство представляет табу и не может иметь никакого дела с «исключениями».)

Происшедший в XIX в. союз логики и математики имел два основных источника: неевклидову геометрию и вейерштрассову революцию строгости. Этот союз привел к объединению доказательства (мысленного эксперимента) и опровержений и дал возможность разви­вать анализ доказательства, постепенно вводя дедук­тивные формы в мысленный эксперимент доказательства. Эвристическим нововведением было то, что мы назвали «методом доказательства и опровержений»: оно впер­вые соединило логику и математику. Вейерштрассова строгость одержала победу над ее реакционными оппонентами с устранениями монстров и скрытыми лемма­ми, которые пользовались лозунгами вроде «скуки от стро­гости», «искусственности против красоты» и т. д. Стро­гость анализа доказательства стала выше строгости доказательства, но большинство ма­тематиков мирилось с таким педантизмом лишь до тех пор, пока он обещал им полную достоверность.

Теория множеств Кантора, давшая еще одну жатву неожиданных опровержений «строго доказанных» теорем, обратила многих членов старой гвардии Вейерштрасса в догматиков, всегда готовых сражаться с «анархистами» при помощи устранения новых монстров или отыскания «скрытых лемм» в их теоремах, которые представляли последнее слово строгости, и в то же время карали «реак­ционеров» более старого типа за такие же грехи.

Затем некоторые математики поняли, что стремление к строгости анализа доказательства в методе доказатель­ства и опровержений ведет к порочной бесконечности. Началась «интуиционистская» контрреволюция; разру­шающий логико-лингвистический педантизм анализа доказательства был осужден и для доказательства были изобретены новые экстремистские стандарты строгости, математика и логика были разведены еще раз.

Логики пытались снасти это супружество и провали­лись на парадоксах. Гильбертова строгость превратила математику в паутину анализов доказательства и потребовала остановки их бесконечных спусков путем кристально ясной совместимости доказательств с интуиционистской метатеорией. «Обосновательный слой», область не подлежащего критике предварительно­го знания (Uncriticisable familiarity), переместился в мы­сленные эксперименты математики. (См. Lakatos, 1962, стр. 179-184.)

При каждой «революции строгости» анализ доказа­тельства проникал, все глубже в доказательства вплоть до «обосновательного слоя» (foundational layer) хорошо знакомого основного знания (familiar background knowledge)*, где верховно правила кристально ясная ин­туиция, строгость доказательства, а критика изгонялась. Таким образом, различные уровни строгости отличаются только местом, где они про­водят линию между строгостью анализа доказательства и строгостью доказатель­ства, т. е. местом, где должен остановиться критицизм и должно начаться подтвержде­ние. «Достоверность» никогда не может быть достигнута, «основания» никогда не могут быть обоснованы, но «хит­рость разума» превращает всякое увеличение строгости в увеличение содержания, в цель математики. Но эта история лежит вне пределов настоящего исследования.