Сплайны, составленные из кривых Безье

Рис. 11. Состыкованные кубические кривые Безье.

Для упрощения будем считать, что параметризация равномерная, т.е. длины отрезков, которые пробегает параметр на каждом из участков, равны.

Для того чтобы рассмотреть условия на и , необходимо найти производные кривых Безье:

, где

Ограничимся в рассмотрении кубическими кривыми Безье, которые более всего распространены.

1) Требование

Рис. 12. Стыковка с требованием

Пусть заданы значение производных на концах: m0 и m1 : Þ Таким образом, для того, чтобы в точках стыковки производные были равны необходимо, чтобы , т.е.:

2) Требование

Рис. 13. Стыковка с требованием .

Из требования в точках стыковки получаем = . Далее, из требования следует равенство D, и так как D получаются сложением соответствующих векторов по правилу параллелограмма, то ││ и, если обозначить точку пересечения и как , то получим, что - средняя линия треугольника Распространяя эти рассуждения на все точки стыковки, получаем, что для задания формы такого сплайна достаточно задать точки , где k = 3i, i Î , где n+1 - число опорных точек и краевые точки и (см. Рис. 14)

Рис. 14. Связь между точками для соседних сегментов.

Замечание: Для замкнутой кривой задание краевых точек не нужно.